三角形是邊數(shù)最少的多邊形，三角形的面積公式也再簡單不過了，是小學(xué)五年級數(shù)學(xué)課程探索的內(nèi)容。但當(dāng)我們靜下心來回顧、整理數(shù)學(xué)課程中涉及的有關(guān)三角形面積的問題時，就會驚喜地發(fā)現(xiàn)這個看似不起眼的簡單問題，其實(shí)并不簡單，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。

　　1基本公式的探索蘊(yùn)含出人相補(bǔ)原理、轉(zhuǎn)化思想

　　三角形的面積公式在青島版五年級數(shù)學(xué)教材中是用平行四邊形的面積公式證明的(如圖1)，因?yàn)閮蓚�全等的三角形可以拼成一個平行四邊形，這兩個三角形移置前后面積之和有簡單的面積相等關(guān)系，從而三角形的面積等于其等底等高的平行四邊形面積的一半。用初中階段的數(shù)學(xué)知識可以證明如下：由于ДАBC ДСВA(ДABC))，A 而 АСВ—

　　應(yīng)用正弦函數(shù)，基本公式可以表示為S-absin C，當(dāng)然，兩邊及其夾角可以唯一確定一個三角形，自然能夠表示出這個三角形的面積。應(yīng)用正弦定理，還可以表示為S-a sin Bsin C sin A

　　2海倫公式的應(yīng)用街生近似、逼近的方法

　　已知三角形三邊長分別為a，b，c，則三角形面積S=vp(p-a)(p-b(p-c，其中p=et6，這就是著名的海倫公式。雖然這個公式是由阿基米德發(fā)現(xiàn)的，但這個名稱已成習(xí)慣叫法。海倫公式作為練習(xí)出現(xiàn)在人教A版《數(shù)學(xué)5)(必修)“解三角形"一章的習(xí)題中，我們可以用余弦定理證明。

　　3解析幾何公式蘊(yùn)含數(shù)學(xué)簡單美

　　在解析幾何中，如果知道三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這個三角形也是確定的，三角形的面積應(yīng)該可以根據(jù)三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出。(如圖2)設(shè)AABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(i，y)，B(z2 B()y2)，C(zs，ya)，則1BC1-/a-2)+(y-y)。由圖2于BC邊的直線方程為二2y二y，所以點(diǎn)A到2-I2 ya-y21-r_y-2邊BC的距離為一x1-z2y-3根據(jù)基(z-z2)t(y-y2本公式，有s=s-z)(ys-y)1-2_u-2rs-12 ys-y211(x-22)(y，-y2)|4ーaー2ー21-x，一12 ys-y21(x-x2)(ys-y2)-(xs-x2)(y，-y)|=1(x為-an)-(xiy-22y)-(22y-2y)|=tl(2y-xy2)-(ny-ay)-(x1y2-z2y)|= 1 2 s1y1 y2 y3

　　4公式拓展的開普勒方法蘊(yùn)含定積分思想

　　開普勒將三角形(直線形)面積公式拓展到圓(曲線形)的面積公式的探求，他認(rèn)為，圓周上有那么多的點(diǎn)，從而有那么多的部分，即無窮多個部分，每個部分都可視為腰是AB(半徑)的等腰三角形的底，因此，圓中有無數(shù)個三角形，它們的頂點(diǎn)都是圓心A.開普勒將圓周展開為一條線段，他在線段上每一點(diǎn)，“一個接一個地”都放上同圓內(nèi)三角形底相等的三角形，所有三角形的高都等于AB(如圖3)。由此得出AABC的面積將等于圓圖3的所有扇區(qū)，從而等于包含所有扇區(qū)的圓的面積[2.所以圓的面積等于半徑和周長乘積的一半。開普勒將圓切成非常小的三角形的應(yīng)用，展示了無窮小分割、以直代曲、近似求和、取極限的定積分思想。

　　5公式定積分解法應(yīng)用了元素法

　　用定積分求平面圖形的面積是數(shù)學(xué)中普適性和一般性的方法。自然，我們也可以應(yīng)用定積分求三角形的面積。采用元素法，取坐標(biāo)如圖4所示，當(dāng)x在區(qū)間[0，h]上變化時，面積元素為ds-號(h-z)dr.在[0，h]上積分，得到圖4所求三角形的面積為S-f"(h-x)dr-ad fJ.-·।-.簡單的三角形的面積公式反映了幾何教學(xué)從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過程，體現(xiàn)了幾何、三角、代數(shù)與分析學(xué)等學(xué)科典型的解決問題的方法。如果我們能在日常教學(xué)中不斷反思、不斷挖掘知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，這樣有利于深化我們對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的深度和水平，學(xué)生更會從中受益。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]傅海倫.中外數(shù)學(xué)史概論[M].北京：科學(xué)出版社，2007

　　[2][美]VICTOR J.KATZ著.李文林等譯.數(shù)學(xué)史通論(第二版)[M].北京;高等教育出版社，2005.

　　《三角形面積公式及其蘊(yùn)含的思想方法》來源：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》，作者：房 元 美，房 元 霞。

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