例（習）題是教材的重要組成部分，這些例（習）題是編者從茫茫題海中經(jīng)過反復篩選、精心選擇出來的，是學生掌握雙基的重要來源，也是教師傳授知識的紐帶，對教學質(zhì)量大面積的提高、學生智力的發(fā)展、思維品質(zhì)的培養(yǎng)都是至關(guān)重要。

　　摘要：培養(yǎng)學生思維能力是數(shù)學教學的重要目標，如何能實現(xiàn)這一目標.靈活處理認真研究課本的例（習）題，挖掘并掌握其中豐富內(nèi)涵，是一種行之有效辦法，其對培養(yǎng)學生思維發(fā)散性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性、廣闊性都有很大作用。

　　關(guān)鍵詞：思維能力,課本例（習）題

　　一、引申拓廣，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

　　教學中，若對一些典型的例、習題進行變式處理，如改變原題的條件、結(jié)論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

　　例1數(shù)學必修⑷P122第3題證明：對任意a，b，c，d∈R，恒有不等式

　�。╝c+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）（1）

　　先讓學生推證，發(fā)現(xiàn)他們用比較法、綜合法、反證法、放縮法都可以得到證明.此時進一步追問：能否有更新穎的證法呢？

　　引導學生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的結(jié)構(gòu)特征，因此可考慮用構(gòu)造法證明.

　　證法1（向量法）

　　構(gòu)造向量u=（a，b），v=（c，d），u·v=|u||v|cosθ（其中θ為向量u與v夾角）

　　則ac+bd=，

　�。╝c+bd）2=（a2+b2）（c2+d2）cos2θ

　　≤（a2+b2）（c2+d2）

　　證法2（構(gòu)造三角形）利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”（上圖中OBCA為平行四邊形）

　　由|OA|+|OB|>|AB|及|OA|+|OB|>|OC|，不等式⑴迅速得證.

　　由解法一不少學生都能發(fā)現(xiàn)a與b，c與d可交換位置.

　　[變1]求證：（a2+b2）（c2+d2）≥（ad+bc）2⑵

　　[變2]⑴式兩邊開方可否？

　　求證：≥|ac+bd|⑶

　　[變3]⑶式右邊去掉絕對值可否？

　　求證：≥ac+bd⑷

　　對于⑴式能否有更深刻的變化呢？將不等式⑴字母分別排序，得

　�。╝12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2⑸

　　通過分析知道，可以按字母增加的方向演變.

　　[變4]設(shè)a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，

　　求證：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）

　　≥（a1b1+a2b2+a3b3）2⑹

　　此時，利用學生的連續(xù)思維所產(chǎn)生的思維慣性，教師因勢利導，把問題推廣。

　　推廣設(shè)ai，bi∈R（i=1，2……n），則

　�。╝12+a22+……+an2）（b12+b22+……+bn2）

　　≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2

　�。ó斍覂H當ai=kbi時，取“=”號）

　　這是一個重要的定理，叫柯西不等式.不等式⑸、⑹即柯西不等式當n=2和n=3時的特例。

　　如此層層推進，使結(jié)論更加完美，更具有普遍性.

　　上述對原題從不同角度進行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識橫向聯(lián)系，縱向深入，拓寬了學生的思路，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維.

　　二、融會貫通，培養(yǎng)思維的靈活性

　　數(shù)學中有很多知識是相互聯(lián)系的，現(xiàn)行新教材特別注意用聯(lián)系的觀點處理問題，課本中例、習題為我們提供了充足的素材和廣闊的空間.因此，在教學中充分利用課本例、習題之間相互聯(lián)系、互相作用、互相影響這一規(guī)律，引導學生串通教材，做到融會貫通，開闊學生的視野，增強學生思維的靈活性。

　　如研究空間面面關(guān)系，線面關(guān)系，線線關(guān)系時經(jīng)常要用到轉(zhuǎn)化思想方法來解題，通常有關(guān)線面平行、垂直的問題可轉(zhuǎn)化為線線平行、垂直的問題，而有關(guān)面面平行、垂直的問題可轉(zhuǎn)化為線面平行、垂直的問題。

　　三、揭示規(guī)律，培養(yǎng)思維的深刻性

　　有些例、習題蘊含著解題思路或方法上的規(guī)律性，教師要有意識地引導學生去分析、歸納、挖掘、提煉，以總結(jié)出這些規(guī)律，并使學生深刻領(lǐng)會，牢固掌握，能用于解類似的問題，這有利于提高學生思維品質(zhì)的深刻性。

　　例3數(shù)學必修⑸練習：

　　等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn=5n2+3n，求它的前3項，并求它的通項公式.

　　多數(shù)學生解為：∵S1=a1=8，S2=a1+a2=26

　　∴a2=S2-a1=18，d=a2-a1=10，a3=a2+d=28，

　　∴an=10n-2，教學不應就此結(jié)束，可繼續(xù)設(shè)問：“若等差數(shù)列這個條件去掉，應該怎樣求an？”經(jīng)過總結(jié)歸納，可以發(fā)現(xiàn)：

　　∵Sn=a1+a2+……+anSn-1=a1+a2+……+an-1，

　　∴an=Sn-Sn-1，這實際上就得到了有價值的通法了，即：凡是已知Sn，抓住Sn與an的關(guān)系an=

　　an學生掌握了此規(guī)律，以后處理類似問題就不費周折了。

　　再進一步推廣、深化例3：

　　Sn是數(shù)列{an}的前n項的和，若對任何自然數(shù)n，

　　Sn=an2+bn（a、b∈R且ab≠0）可以證明數(shù)列{an}是公差為2a的等差數(shù)列.再進一步追問，若Sn=an2+c（c≠0），數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？為什么？

　　如此層層深入思考，分析歸納，不斷深化，有效地訓練和培養(yǎng)了學生思維的深刻性。

　　四、標新立異，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

　　例、習題教學中，在學生掌握基本方法的同時，應有意識地創(chuàng)設(shè)新活的思維情境，激勵學生不依常規(guī)、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導學生多角度、全方位地思考問題，鍛煉學生思維創(chuàng)造的目的。

　　五、聯(lián)想轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維的廣闊性

　　數(shù)學是一個具有內(nèi)在聯(lián)系的有機整體，各不同分支，不同部分，都是相互聯(lián)系、相互滲透的，解題方法、解題思路更是如此，因而，在課本例、習題的教學中應有意識地教給學生類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化的方法，以提高學生分析問題、解決問題的能力，促進知識的正向遷移，培養(yǎng)思維的廣闊性。

　　綜上所述，課本是教學之本，深挖教材的潛力，充分發(fā)揮教材的自身作用，處理好課本例、習題的教學十分重要.立足課本，對課本典型例、習題進行演變、探究、引申、拓廣、應用，由點到面，由題及類，解剖一例，帶活一串，注意數(shù)學思想方法的滲透，這樣教學，深化了基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)了思維品質(zhì)，發(fā)展了思維能力，這正是我們所要追求的目標。

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