變形觀測(cè)數(shù)據(jù)分析預(yù)測(cè)中建模方法淺析
蔣宗偉1，汪德希² 胡華敏²
摘 要：變形觀測(cè)在監(jiān)測(cè)方法、精度要求、數(shù)據(jù)處理等方面有其自身的特點(diǎn)。本文結(jié)合實(shí)踐對(duì)如何根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)要分析并建立模型，分別運(yùn)用最小二乘多項(xiàng)式擬合法和ARMA模型對(duì)同一批變形觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，根據(jù)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的比較來分析出這兩種建模方法之間的特點(diǎn)與適用范圍。并結(jié)合自己的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)提出了自己的一些合理化建議。
關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析 時(shí)間序列 擬合 插值 連續(xù) 精度評(píng)定

0 引言
在地質(zhì)水文條件復(fù)雜地區(qū)或者城市重要地段施工時(shí)，有必要在整個(gè)施工階段對(duì)結(jié)構(gòu)體進(jìn)行必要的位移監(jiān)測(cè)，以獲得被測(cè)結(jié)構(gòu)體變形的基本數(shù)據(jù)，并通過對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的變形分析建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)測(cè)其未來的變化情況，從而起到指導(dǎo)生產(chǎn)、合理安排各種相關(guān)作業(yè)、增加安全系數(shù)的作用。
在變形觀測(cè)中，現(xiàn)場(chǎng)采集的觀測(cè)數(shù)據(jù)無論是按時(shí)間順序排列還是按空間位置順序排列，數(shù)據(jù)之間都存在一定的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，對(duì)具有這種統(tǒng)計(jì)特性的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析與處理，經(jīng)常采用時(shí)序分析法對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以建立形變結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)變形預(yù)測(cè)模型，從而對(duì)其變形趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè).最小二乘曲線擬合法無疑是經(jīng)常使用的方法之一，另外自回歸滑動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱ARMA模型）也是一種典型的建模方法。
1.最小二乘多項(xiàng)式曲線擬合法
在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析過程中，對(duì)變形觀測(cè)采集到的數(shù)據(jù)，我們可按照變化量和時(shí)間建立一組數(shù)據(jù)。最小二乘多項(xiàng)式曲線擬合法就是通過已知的N組離散數(shù)據(jù)點(diǎn)來找到的一條近似逼近曲線，把這組離散數(shù)據(jù)線性化表示出來 ，從而在一定程度上根據(jù)函數(shù)表達(dá)式來推測(cè)某一未知點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變量，是數(shù)據(jù)分析上常用的方法。其基本原理如下：
已知N組數(shù)據(jù)，求這N組數(shù)據(jù)的m-1次最小二乘擬合多項(xiàng)式：
（m≤n），假設(shè)是正交多項(xiàng)式的線性組合，即有
，
其中， ， ，
由此可得，進(jìn)一步即可得到最終的擬合多項(xiàng)式。
在實(shí)際操作中，我們可以用MATLAB軟件中的polyfit函數(shù)來求得多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù){ai},在階次的選擇上，可以從m=1開始，級(jí)數(shù)逐次升高，并進(jìn)行精度評(píng)定，每增一組數(shù)據(jù)就擬合一次多項(xiàng)式，并估計(jì)出多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算出擬合的殘差的平方和，并將殘差平方和作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。曲線擬合時(shí)并不是要求所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都嚴(yán)格在近似曲線上，但要求偏差要盡可能的小，其擬合精度可用公式來評(píng)定。
實(shí)例:廣州中船龍穴造船基地沿海防護(hù)圍堤監(jiān)測(cè)點(diǎn)(D9-2A)施工期170天的累計(jì)水平位移觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表:
日期

日期 累計(jì)時(shí)間(d) 累計(jì)位移(mm) 日期 累計(jì)時(shí)間(d) 累計(jì)位移(mm) 日期 累計(jì)時(shí)間(d) 累計(jì)位移(mm)
5月1日 0 0 6月30日 60 -62 8月30日 121 96
5月10日 9 7 7月9日 69 -67 9月12日 134 108
5月20日 19 21 7月19日 79 -74 9月21日 143 109
5月31日 30 32 7月30日 90 90 9月29日 151 111
6月10日 40 41 8月9日 100 100 10月8日 160 118
6月20日 50 50 8月20日 111 111 10月17日 169 114
運(yùn)用多項(xiàng)式擬合法對(duì)這組數(shù)據(jù)中的前150天的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，留后20天的數(shù)據(jù)做預(yù)測(cè)比較。擬合得到的函數(shù)為：（對(duì)應(yīng)系數(shù)如下表）
系數(shù) a1 a2 a3 a4 a5 a6 擬合精度（mm）
5次擬合 -9.13164E-09 3.44156E-06 -4.48240E-04 2.04489E-02 7.66005E-01 -1.40435E-01 1.95299 E+00
3次擬合 --- --- 6.99876E-06 -4.29029E-03 1.24211E+00 -1.52341E+00 2.18985 E+00
2次擬合 --- --- --- -2.70480E-03 1.15003E+00 -5.80429E-01 2.24751 E+00

從表中擬合精度分析可以看出階次越高擬合曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)越接近，逼近效果也越好，也就越精確。根據(jù)擬合得到的多項(xiàng)式推測(cè)該點(diǎn)10月8日、10月17日的水平位移累計(jì)變化，5次擬合推測(cè)的為107.860、98.296，3次擬合推測(cè)為116.054、119.641，2次擬合推測(cè)為114.181、116.523，與這兩日的水平位移實(shí)際數(shù)據(jù)118、114相比，發(fā)現(xiàn)越超前擬合預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)差異越大，并不是擬合階次越高預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確，這說明運(yùn)用多項(xiàng)式擬合做超前預(yù)測(cè)時(shí)不適宜外推太多，但對(duì)于做插值推測(cè)效果還是非常好。原因主要是多項(xiàng)式擬合法是一種靜態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，從嚴(yán)格意義上說它不能直接應(yīng)用于所考慮的數(shù)據(jù)是否統(tǒng)計(jì)相關(guān)的情況。若用多項(xiàng)式擬合的方法做一定程度的超前預(yù)報(bào)，就必須在每增加一組數(shù)據(jù)就做一次多項(xiàng)式系數(shù)估計(jì)，并進(jìn)行精度評(píng)定，當(dāng)精度不隨階次的升高而顯著增強(qiáng)時(shí)即可做一定程度的外推預(yù)報(bào)，一般的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合次數(shù)在3次以上擬合精度就比較好了。
2.自回歸-滑動(dòng)平均模型
變形監(jiān)測(cè)中逐次得到的觀測(cè)值通常是不獨(dú)立的，也是隨時(shí)間逐步變化的，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)必須要考慮到觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的時(shí)間順序，ARMA模型就是在觀測(cè)值逐次相關(guān)的基礎(chǔ)上建立的一種預(yù)測(cè)模型，即，它與回歸模型的區(qū)別就在于時(shí)間序列彼此相互關(guān)聯(lián)，是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理模型。ARMA模型利用觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來描述被監(jiān)測(cè)對(duì)象的動(dòng)態(tài)變化，進(jìn)而來預(yù)測(cè)未來的量值。其基本原理如下：若平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)組{}可由隨機(jī)差分方程表達(dá)(P為自回歸階次，q為時(shí)間平均滑動(dòng)階次，aj，bj為相應(yīng)參數(shù)，為白噪聲序列),稱此方程為的滑動(dòng)平均模型。對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列，我們可以做插值處理提取等間隔時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的趨勢(shì)數(shù)據(jù)，再對(duì)平穩(wěn)零均值序列{}用ARMA法建模，并對(duì)殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，確保模型數(shù)據(jù)處理的合理性，然后用新建立的模型來對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)將來的變化進(jìn)行預(yù)測(cè)。

實(shí)例：觀測(cè)數(shù)據(jù)如上例（須先對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行等間隔插值處理）
得到ARMA（4，3）和ARMA（3，2）的表達(dá)式分別為：
xt=0.1255 xt-1+1.447 xt-2+ 0.247 xt-3-0.7978 xt-4+ε-0.1255εt-1- 1.447εt-2 + 0.1209εt-3, 殘差：2.141mm;
xt=1.368 xt-1+0.1572 xt-2- 0.5267 xt-3+ε-0.8757εt-1-0.134εt-2 , 殘差：2.157mm,
從模型2的最后兩個(gè)預(yù)測(cè)值的結(jié)果亦可看出, ARMA（4，3）推測(cè)為118.776、118.070,ARMA（3，2）推測(cè)為116.367、117.317，與實(shí)際數(shù)據(jù)均相差不大，均能起到良好的預(yù)報(bào)效果，其中RMA（4，3）模型在短時(shí)間超前預(yù)測(cè)值更為接近實(shí)際，但同樣不適合做太多超前預(yù)報(bào)。
3.結(jié)束語
通過建立動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型對(duì)變形觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，使我們認(rèn)識(shí)到模型的建立對(duì)預(yù)測(cè)的重要價(jià)值，因?yàn)閺念A(yù)報(bào)的效果看,多項(xiàng)式擬合法與ARMA模型在有限范圍內(nèi)均有良好的預(yù)測(cè)，ARMA模型考慮到了觀測(cè)數(shù)據(jù)的相關(guān)性，可更好的反映觀測(cè)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)成份,故更具合理性，對(duì)提高預(yù)報(bào)精度作用明顯，模型參數(shù)較多，建模工作量大，而且在如何合理確定模型階次問題上有待優(yōu)化�？傊�，我們可以根據(jù)需要采用不同的建模方法。一般簡(jiǎn)單的分析，可以采用多項(xiàng)式擬合模型進(jìn)行擬合和一定程度的超前預(yù)報(bào),對(duì)于高精度工程的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)分析與處理，應(yīng)結(jié)合其他方法函數(shù)類型的數(shù)據(jù)處理方法建模綜合考慮，才能獲得較好的結(jié)果模型結(jié)構(gòu)，進(jìn)而做出更加合理的預(yù)報(bào)。

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