數(shù)學(xué)建模教學(xué)探究

　　汕頭市潮陽區(qū)職業(yè)技術(shù)學(xué)校陳欣龍(515100)

　　[內(nèi)容摘要]:數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)理論知識的實(shí)際應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模的題目來源于實(shí)際生活，數(shù)學(xué)建模涉及的知識面非常大，本文通過對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)探究，論述了數(shù)學(xué)建模的教學(xué)原則、課堂教學(xué)、教學(xué)方法及應(yīng)注意的幾個(gè)問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展，了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)課程脫離生活的弊端，學(xué)會合作、交流與表達(dá)，借助數(shù)學(xué)思維掌握解決問題的策略、方法，自主探索獲得成功的快樂，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

　　[關(guān)鍵詞]:數(shù)學(xué)建模，教學(xué)原則，課堂教學(xué)，教學(xué)方法，原則問題

　　數(shù)學(xué)知識應(yīng)用是轉(zhuǎn)換教學(xué)模式的有效途徑之一，更有利于學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀,而數(shù)學(xué)建模的目的是為了適應(yīng)數(shù)學(xué)新課程改革中加強(qiáng)應(yīng)用性、創(chuàng)新性和以人為本的教學(xué)要求,是在現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)和提出一些數(shù)學(xué)有關(guān)的問題，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的語言、知識、方法等等，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，通常稱為得到一個(gè)“數(shù)學(xué)模型”，經(jīng)過分析后解決這個(gè)數(shù)學(xué)模型，求出相應(yīng)的結(jié)果.下面就數(shù)學(xué)建模教學(xué)作進(jìn)一步闡述.

　　1.明確數(shù)學(xué)建模的原則

　　教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該有一定的原則來指導(dǎo)，數(shù)學(xué)建模也有自己的原則:

　　1.1適度性原則：建立數(shù)學(xué)模型是一種很復(fù)雜的工作，在課堂教學(xué)的短短幾十分鐘難以完成.因此，選編應(yīng)用題時(shí)，必須對背景材料加工，抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)簡化，讓學(xué)生能準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)語言描述問題，建立模型，運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識和方法解決問題.

　　1.2適應(yīng)性原則：應(yīng)用性問題的選編應(yīng)與學(xué)生的知識水平相適應(yīng)，與課堂教學(xué)中知識相配套，在課文活動(dòng)中，應(yīng)用問題涉及的數(shù)學(xué)知識可以拓寬，但課堂教學(xué)中應(yīng)用問題應(yīng)與教學(xué)目標(biāo)一致，與課堂教學(xué)進(jìn)度相適應(yīng)，不可隨意拓寬與加重學(xué)生問題負(fù)擔(dān).

　　1.3實(shí)用性原則：應(yīng)用問題的題材應(yīng)盡量涉及目前學(xué)生熟悉的熱點(diǎn)問題，所編應(yīng)用問題必須符合生活、生產(chǎn)實(shí)際.

　　2.結(jié)合建模原則優(yōu)化數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程

　　數(shù)學(xué)建模的題目來源于實(shí)際生活，不同于死硬硬的純理論學(xué)習(xí)，而且這些問題的答案不是唯一的，也沒有完全絕對標(biāo)準(zhǔn)的，這些不同的因素，提供給學(xué)生足夠的想象空間，結(jié)合實(shí)際，教師可以從以下方面進(jìn)行課堂施教：

　　2.1教學(xué)生閱讀：數(shù)學(xué)建模的題目取自生活，是非常貼近學(xué)生的，能夠給學(xué)生一種熟悉關(guān)感，但是這些知識的獲取不能只是知道，而應(yīng)該利用閱讀這一種手段來獲取，用閱讀理解題目，從中取得教學(xué)的成分，用數(shù)學(xué)的思想和方法去解決問題.而且，數(shù)學(xué)建模涉及的知識面要求非常大，這都要求學(xué)生會閱讀，增加自己的知識面.

　　2.2教會學(xué)生整理：在課堂上，教師必須幫助學(xué)生搞清楚知識的來龍去脈，經(jīng)緯聯(lián)系，使知識條理化、系統(tǒng)化，也就是把生活問題整理出數(shù)學(xué)問題.

　　2.3教會學(xué)生取舍：很顯然，相對復(fù)雜的教學(xué)模型，沒有完整的理論答案，會出現(xiàn)舍那取這的矛盾，這就要求學(xué)生能夠做到取主要因素舍次要因素，從而使理論結(jié)果與現(xiàn)實(shí)結(jié)果相接近.

　　2.4教會學(xué)生聯(lián)系和構(gòu)思：這里的聯(lián)系不僅指實(shí)際問題與理論知識的聯(lián)系，而且還要求把想象和抽象聯(lián)系起來，最終把模型建立起來.

　　2.5教會學(xué)生評價(jià)和探索：數(shù)學(xué)建模的評價(jià)不比一般題目的評價(jià)，它的評價(jià)有時(shí)不僅結(jié)果不能直接體現(xiàn)出來，而且也不能是一成不變的.這種過程非常復(fù)雜，應(yīng)該讓學(xué)生自己學(xué)會在這方面有相當(dāng)深度的理解，探索可以使知識進(jìn)一步深化，探索是創(chuàng)造的鑰匙.因此，必須鼓勵(lì)學(xué)生大膽構(gòu)想，勇敢實(shí)踐，提高學(xué)生綜合應(yīng)用與靈活運(yùn)用知識的能力，使創(chuàng)造性思維得到最大限度的發(fā)展

　　3.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方式

　　數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)過程中，通過對數(shù)學(xué)內(nèi)容的科學(xué)加工、處理和再創(chuàng)造達(dá)到在學(xué)生中用，在用中學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)的精神、思想和方法：解決數(shù)學(xué)模型問題的數(shù)學(xué)方法的完整過程：

　　

 

　　3.1日常生活是應(yīng)用題的源泉之一，現(xiàn)實(shí)中有許多問題可通過建立模型加以解決.這些大都可用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型，加以解決.

　　例1.將貨物從A運(yùn)到B(如下圖),已知A到河岸的距離AC=3，BC=4，而水路AD上的單位距離的運(yùn)費(fèi)是陸路DB上的單位距離的運(yùn)費(fèi)的2倍，為了使運(yùn)費(fèi)省，點(diǎn)D應(yīng)選在何處?

　　

　　分析：本題的數(shù)學(xué)語言非常理論化了，只要把它當(dāng)作理論的應(yīng)用題來解就即可，若取圖中∠ACD=θ為自變量，設(shè)水路單位運(yùn)價(jià)為2，于是總運(yùn)費(fèi)為

　　y=23/cosθ+(4-3tanθ)(0≤θ≤arctan3/4).對于這個(gè)式子的最值，令

得：y=23(1+t2)/(1-t2)+4-32t/(1-t2)=(2t2-6t+10)/(1-t2)

　　用判別式求得：

，此時(shí)，相當(dāng)有θ=л/6

　　此題引導(dǎo)學(xué)生考慮生活中的數(shù)學(xué)，會加深對數(shù)學(xué)知識的理解和運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)貙⑵淙谌胝n堂教學(xué)活動(dòng)中，注重聯(lián)系實(shí)際與數(shù)學(xué)思維.

　　3.2以問題是模糊性模型的問題，介紹建模方法.這里的問題一般內(nèi)容新穎、條件復(fù)雜、結(jié)論不定、解法靈活、綜合性強(qiáng)，無現(xiàn)成的模式可套用，通常是是探究性的題目，問題的解決需要聯(lián)合運(yùn)用觀察、分析等多種思維方法，同時(shí)探求多個(gè)解決方向，創(chuàng)造新思維和新方法，獲得多種結(jié)果.

　　例2.為慶祝香港回歸倒計(jì)時(shí)30天，柯受良先生決定在1997年6月1日下午駕車飛越黃河壺口瀑布，已知瀑布寬約55m，怎樣才能保證他平安飛過?

　　這道題是影響因素很多，如空氣阻力、風(fēng)速、汽車性能等，解答時(shí)必需略去次要的因素，抓住汽車飛離跑道時(shí)與水平線所成的角度а，以及當(dāng)時(shí)的速度v0，運(yùn)用相關(guān)的物理知識，可得出數(shù)學(xué)模型：

　　h=v0sinаt-gt2

　　s=v0cosаt

　　其中h為將汽車看作是一質(zhì)點(diǎn)時(shí)與跑道末端的垂直高度，t為汽車騰空時(shí)間，取h=0消去t，得

，其中s為河寬，不妨取s=60m，g為重力加速度，取g=9.8m/s2得出下表一些答案：

　　

　　綜合各種因素，將上表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可知取а=100，v0=150km/h為最優(yōu).這題從社會熱點(diǎn)問題提出好素材，融入在數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生掌握相關(guān)的建模方法，為日后能主動(dòng)以數(shù)學(xué)的意識、方法、手段處理提供了能力上的準(zhǔn)備.在這題教學(xué)過程中，可以看出一開始把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，忽略了次要因素，抓著主因素來建模.這個(gè)思維過程正是思維的發(fā)散性過程，需要聯(lián)合運(yùn)用觀察、想象、分析、綜合、類比等多種思維方法，創(chuàng)造新思維和新方法.

　　3.3通過問題是連續(xù)型模型的題目，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)造能力，把數(shù)學(xué)概念、公式、定理、理論體系等作為數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)“建模”的過程，模型的應(yīng)用，其教學(xué)思想與過程教學(xué)(概念的形成過程，公理、定理的發(fā)現(xiàn)過程，問題的探索過程，暴露學(xué)習(xí)的思維過程)強(qiáng)調(diào)探索性、自主性的教學(xué)思想是一致的.下面給出了一個(gè)連續(xù)型數(shù)學(xué)模型的題目解決問題的例子.

　　例3.根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測該國2000年的人口數(shù).

　　

　　分析：這是一個(gè)確定人口增長模型的問題.

　　一個(gè)國家的人口與眾多因素有關(guān)，為使問題簡化，我們?nèi)缦录僭O(shè)：

　　(1)該國的政治、經(jīng)濟(jì)、社會環(huán)境穩(wěn)定;

　　(2)該國的人口數(shù)由其人口的生育、死亡引起，與外界移民無關(guān);

　　(3)該國的人口數(shù)量變化是連續(xù)的;

　　(4)該國的每一個(gè)人有相同的生育能力和死亡機(jī)率.

　　基于上述假設(shè)，我們認(rèn)為人口數(shù)量是時(shí)間的函數(shù)，記時(shí)間為t，時(shí)刻的人口數(shù)為P(t).

　　建模的思路是，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)資料繪出散點(diǎn)圖，然后尋找一條直線或曲線，使它們盡可能地與這些散點(diǎn)吻合，該直線或曲線就被認(rèn)為近似地描述了該國人口增長率，從而進(jìn)一步作出預(yù)測.

　　觀察散點(diǎn)圖(如下圖)，從整體趨勢來看，可以認(rèn)為散點(diǎn)近似分布在一條直線t=1830為對稱軸的拋物線上，選兩點(diǎn)(1830，3.930)、(1930，62.949)為對稱軸的拋物線上，可定出該拋物線方程為：P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2

　　此即欲建的人口增長拋物線模型.

　　我們還可以認(rèn)為散點(diǎn)近似分布在一條指數(shù)曲線上，我們?nèi)?970、1980這兩年的數(shù)據(jù)確定方程(而用1990年的數(shù)據(jù)作檢查)，因此,過兩點(diǎn)(1970，122.776)，(1980，131.670)求得指數(shù)方程為：

　　P(t)=122.776*(1.007)t-1970

　　即該國人口增長的指數(shù)模型.

　　通過1990的人口數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，其

　　誤差分別為8.59%和1.07%，所以，我

　　們認(rèn)為第二個(gè)模型精確度更標(biāo)準(zhǔn)，選取

　　第二個(gè)模型預(yù)測該國到2000年的人口預(yù)

　　測數(shù)為P(2000)=151.355×106.

　　

 

　　4.數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)注意的原則問題

　　4.1在建模教學(xué)中，教師要考慮學(xué)生的情感因素(興趣、動(dòng)機(jī)、壓力等)、經(jīng)驗(yàn)因素、認(rèn)知因素，使問題簡化所作假設(shè)的客觀性與合理性，要求建模者對現(xiàn)實(shí)原問題的深入了解和豐富的經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生提供一種輕松愉快的氛圍，為學(xué)生選擇一些感興趣的實(shí)際素材，才能增強(qiáng)學(xué)生的自信心，以學(xué)生主動(dòng)探索為主、教師指導(dǎo)為輔的認(rèn)知過程，對學(xué)生成功解決問題起到很大作用.

　　4.2注重學(xué)生的各種能力的發(fā)展.學(xué)生在整個(gè)問題解決的過程中的能力體現(xiàn)，需要想象力、推理能力、綜合運(yùn)用相關(guān)學(xué)科的知識能力、查閱有關(guān)文獻(xiàn)的能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、抽象思維能力、計(jì)算與分析及處理數(shù)據(jù)的能力等，在課堂教學(xué)中要先注意建模過程中各種能力的培養(yǎng).

　　4.3切記把握好度.讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模只是手段而非最終目標(biāo)，問題的選編必須圍繞教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與興趣，面向全體學(xué)生設(shè)下一定的坡度與難度，對于學(xué)生的問題解決過程，教師要充分做好引導(dǎo)，防止學(xué)生鉆“牛角尖”而浪費(fèi)大量的時(shí)間.

　　4.4現(xiàn)實(shí)建模問題的解決性.對所建模實(shí)際有效性的檢測和修正，需要有一定的方法，如果檢測結(jié)果與現(xiàn)實(shí)有較大的出入，就需對假設(shè)進(jìn)行修正，直至所建模型達(dá)到應(yīng)有的預(yù)期目標(biāo).

　　數(shù)學(xué)建模教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展，了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對數(shù)學(xué)邏輯化方法的取舍、優(yōu)化與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)規(guī)范，彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)課程脫離生活的弊端，學(xué)會合作、交流與表達(dá)，借助數(shù)學(xué)思維掌握解決問題的策略、方法，自主探索獲得成功的快樂，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

　　參考文獻(xiàn)：

　　馮永明等《中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)構(gòu)想與實(shí)踐》數(shù)學(xué)通訊2003年第13期

　　錢佩玲編《中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法》北京師范大學(xué)出版社2001年出版

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