微分方程群分類研究
　　周衛(wèi)春
　　四川綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院四川綿陽621000
　　摘要：眾所周知，用偏微分方程模擬自然界中的各種現(xiàn)象是數(shù)學(xué)物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)的中心問題之一，比如現(xiàn)代物理學(xué)中的許多方程，像非線性波動(dòng)方程、Dirac方程、通常這些微分方程中含有某些依賴于實(shí)驗(yàn)而獲得的任意函數(shù)或參數(shù)，它們并不是嚴(yán)格確定的，其具體形式依賴于所考慮系統(tǒng)的特殊物理性質(zhì)。但是，它們都具有很好的李和非李對(duì)稱群。因此，人們?cè)谘芯窟@種帶有任意函數(shù)的方程時(shí)，總是優(yōu)先確定出允許相應(yīng)的微分方程有最廣泛對(duì)稱群的函數(shù)的具體形式。把這種確定任意函數(shù)的具體形式，并且給出其相對(duì)應(yīng)方程的非平凡對(duì)稱群的問題稱為微分方程的群分類問題。
　　關(guān)鍵詞：微分方程，群分類，非平凡對(duì)稱群
　　微分方程的對(duì)稱群分類，屬于微分方程的群理論分析。在傳統(tǒng)意義上，微分方程的群理論分析主要有兩大課題:一是對(duì)給定的微分方程，尋找其相應(yīng)的對(duì)稱群;二是給指定對(duì)稱群的微分方程進(jìn)行分類。本質(zhì)上解決這兩個(gè)問題都是利用李發(fā)展的著名的古典無窮小算法，首先把它約化為一個(gè)超定的線性偏微分方程組，即確定方程組，然后求解即可。當(dāng)給定的方程不帶任意函數(shù)時(shí)，確定方程組是顯式的，因此人們一般總能找到許多有效的方法來求解。然而，當(dāng)微分方程中含有任意函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的確定方程組中也帶有任意函數(shù)，而求解帶有任意函數(shù)的確定方程組是件很困難的事情。因此群分類問題的主要困難就在于要同時(shí)從確定方程組中確定出任意函數(shù)的具體形式，并給出相對(duì)應(yīng)偏微分方程的對(duì)稱群。所以，從純粹的數(shù)學(xué)角度講，求解微分方程的群分類，特別是在某些等價(jià)關(guān)系下的完備群分類，是很困難的。
　　為了解決這個(gè)困難，通常采用兩種思想:一種就是通過引進(jìn)一些技巧(如等價(jià)性變換)，直接研究帶有任意函數(shù)的確定方程組的相容性，進(jìn)而確定出函數(shù)的具體形式和相應(yīng)方程的對(duì)稱群。另一種思想就是不去直接研究確定方程組的相容性，而是先假設(shè)所考慮的方程具有某種性質(zhì)的對(duì)稱群G(對(duì)稱代數(shù)g)，然后去尋找這種對(duì)稱群(對(duì)稱代數(shù))的表示。前一種方法由于確定方程組的復(fù)雜性，用這種思想來研究方程的群分類，特別是(在某些等價(jià)關(guān)系下)完備的群分類仍然是很困難的，常常依賴于所考慮方程本身的特殊結(jié)構(gòu)。因此，通常會(huì)對(duì)方程中的任意函數(shù)作一些特殊的限制，進(jìn)而給出一些零散的分類結(jié)果，稱為方程的初步的群分類。這種思想給出了一個(gè)簡(jiǎn)化分類問題的有效方法，本質(zhì)上等價(jià)于給解決微分方程的完備群分類問題提供了一種可能性。最近，烏克蘭數(shù)學(xué)家通過研究分類方程關(guān)于任意函數(shù)的特殊相容性，給出了一個(gè)有效的方法(稱之為相容性方法)來分類非線性方程。該方法已被用于不同的群分類問題。通過進(jìn)一步考慮附加的等價(jià)性變換，把該方法推廣到非線性擴(kuò)散對(duì)流方程的研究中，成功的給出了該方程在連續(xù)性等價(jià)變換群和一般等價(jià)群下的完備群分類。
　　后一種思想源于如果方程所容許的對(duì)稱群(對(duì)稱代數(shù))的表示給定了以后，就可以直接應(yīng)用Lie的無窮小算法來解決微分方程的群分類問題。然而，當(dāng)對(duì)稱代數(shù)的具體表示沒有給定時(shí)，分類同樣是非常的復(fù)雜。此時(shí)，利用Lie的無窮小算法的主要困難在于人們必須同時(shí)求解出任意函數(shù)的具體形式及其相應(yīng)的最大不變性代數(shù)�？朔�此困難的一個(gè)主要思想是由Lie自己給出的。事實(shí)上，他在研究具有一個(gè)變量的常微分方程組所容許的非平凡的不變性對(duì)稱代數(shù)時(shí)所用的方法已經(jīng)暗示了我們?cè)谇蠼馊悍诸悊栴}時(shí)可采用的步驟，即首先構(gòu)造由李向量場(chǎng)生成的對(duì)稱代數(shù)的所有可能的不等價(jià)的實(shí)現(xiàn)。若成功的解決了此問題，則對(duì)稱代數(shù)將被確定，因此我們可以直接利用Lie的無窮小算法獲得所有不等價(jià)的不變方程。
　　然而，系統(tǒng)的利用這些思想來研究偏微分方程的群分類的方法主要是基于等價(jià)群的概念，即恰當(dāng)?shù)淖饔迷谀承┯勺宰兞�，函�?shù)及其相關(guān)導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的擴(kuò)展空間上保持方程形式不變的李變換群。具體如下:首先，通過修改Lie的無窮小算法來計(jì)算這個(gè)群，然后構(gòu)造等價(jià)群的子群的最優(yōu)系統(tǒng);最后，利用Lie的無窮小算法來獲得所考慮分類問題的具體的偏微分方程，使得它們?cè)谏鲜鲎尤合率遣蛔兊摹?BR>　　最近，烏克蘭數(shù)學(xué)家給出了求解容許有無窮參數(shù)等價(jià)群的偏微分方程的群分類的一個(gè)有效的方法。這個(gè)方法主要是基于如下事實(shí):(a)若偏微分方程擁有非平凡對(duì)稱，那么它在某些有限維微分算子李代數(shù)下是不變的，而這些李代數(shù)的類型完全由它的結(jié)構(gòu)常數(shù)確定的;若所研究的微分方程具有無窮維的最大不變性對(duì)稱代數(shù)，通常它會(huì)包含某些有限維李代數(shù)作為子代數(shù)。(b)若存在非奇的變量變換把一個(gè)給定的微分方程變換為另一方程，那么這些方程的有限維不變性李代數(shù)是同構(gòu)的，且在微分方程群理論分析的意義下這些方程被認(rèn)為是等價(jià)的。因此該理論實(shí)際上給出了一種用來初步分類由某些特殊類的一階線性微分算子生成的低維李代數(shù)的不等價(jià)實(shí)現(xiàn)的方法。而這類特殊的微分算子是由所研究方程的結(jié)構(gòu)確定的。它們形成了所考慮方程所容許的對(duì)稱群的李代數(shù)的實(shí)現(xiàn)的一個(gè)表示空間。因此，可在所有可能的實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的集合中引進(jìn)一個(gè)自然的等價(jià)關(guān)系，即若兩個(gè)實(shí)現(xiàn)在等價(jià)群的作用下可以互相轉(zhuǎn)換，則它們被稱為是等價(jià)的。換句話說，研究具有給定形式的偏微分方程的對(duì)稱群分類問題等價(jià)于構(gòu)造其李變換群(或由一階微分算子張成的李代數(shù))的一個(gè)表示理論，而該表示就是所考慮的分類問題中對(duì)應(yīng)方程的對(duì)稱群(或代數(shù))的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。該方法已被用于具有兩個(gè)自變量的一般的擬線性熱傳導(dǎo)方程和非線性波動(dòng)方程的完備的群分類。
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