數(shù)學教育論文發(fā)表之澳大利亞Mathscape數(shù)學教材特點分析及思考
摘要：分析并借鑒國外中學數(shù)學教材，有利于我國中學數(shù)學教材的建設。澳大利亞Mathscape教材有兩大主要特點：混編安排內(nèi)容，取材豐富，注重練習的層次性；強調大綱的過程性目標──“數(shù)學地工作”。這對目前我國初中數(shù)學教材的建設有啟示作用：在保持一定系統(tǒng)性和邏輯性的基礎上，適當考慮選擇性和創(chuàng)新性。
關鍵詞：Mathscape教材,數(shù)學地工作
澳大利亞包括昆士蘭州、維多利亞州、新南威爾士州、南澳、西澳等，基本沿襲了英國的教育體制，除了個別區(qū)域（如昆士蘭州），基本實行小學6年、中學6年（初中4年，高中2年）的學制，初中教育從7年級到10年級，屬于義務教育階段。澳大利亞Mathscape教材是適應目前正在施行的2003年新南威爾士州（NewSou-thWales，簡稱NSW）大綱的系列初中數(shù)學教材，共有6本：Mathscape7、8、9、10，其中9，10各有兩套，分別滿足大綱同一階段不同水平要求的學生，7、8、9正在使用，10即將出版發(fā)行并使用。教材的編寫者大部分是悉尼大學的數(shù)學教師、數(shù)學教育研究者①，也有部分中學數(shù)學教師參與。
一、新南威爾士州（NSW）數(shù)學大綱情況介紹
NSW大綱由州課程研究委員會制定，規(guī)定課程的目的是“在數(shù)學的應用中發(fā)展學生的數(shù)學思考、理解，提高能力和自信，培養(yǎng)創(chuàng)造力，以使學生喜歡和欣賞數(shù)學，并致力于終生學習”。具體分為知識、技能和理解目標，以及價值和態(tài)度目標。大綱充分考慮了不同學生的需求，將整個小學和中學數(shù)學學習目標分為6個階段，階段1至階段3是小學1～6年級數(shù)學學習的要求，階段4和階段5是初中7～10年級數(shù)學學習的要求，階段6是高中11～12年級數(shù)學學習的要求。階段5和階段6又都分成了不同水平，階段5包括階段5.1、5.2、5.3，其中5.3包含了5.2的知識和技能，5.2包含了5.1的知識和技能。階段6也被分成四級水平：一般性數(shù)學、數(shù)學、數(shù)學擴充1、數(shù)學擴充2。上一級水平包含下一級水平。
雖然大綱針對每個階段安排了內(nèi)容，但呈現(xiàn)方式卻是有彈性的，學生可以學習不同階段的不同內(nèi)容，如學生可以學習階段4有關“數(shù)”的內(nèi)容以及階段3有關“測量”的內(nèi)容。不同學生可以達到大綱規(guī)定的不同目標，如一個7年級學生可能正在完成小學階段3的要求，而一個8年級學生，卻在學習9年級甚至更高年級的內(nèi)容。
義務教育階段大綱對具體內(nèi)容目標分為“數(shù)”“模式和代數(shù)”“數(shù)據(jù)”“測量”“空間和幾何”五部分，并提出了過程性目標──數(shù)學地工作（workmathematically），要求學生“通過探究、應用問題解決策略，包括選擇和運用合適的技術，交流、推理和反思，以發(fā)展知識、技能和理解”。
二、Mathscape教材特點分析
Mathscape教材7、8適應大綱階段4的要求，9、10適應階段5的要求，前面提到，教材9、10分別包括兩套，一套適應階段5.2，一套適應階段5.3（稱為Mathscape9擴充和Mathscape10擴充）。這樣，學生在學習教材9（相當于國內(nèi)初二年級）時就已經(jīng)有了選擇性。教材在內(nèi)容的編排、材料的選取、練習和習題搭配的層次性，尤其對過程性目標──“數(shù)學地工作”的體現(xiàn)上有以下特點。
�。ㄒ唬┗炀幇才艃�(nèi)容、取材豐富，注重練習的層次性
教材按照大綱對具體內(nèi)容目標的分類，以混編方式螺旋式展開。Mathscape7的部分內(nèi)容是回顧和加深小學已有知識，如有關“數(shù)”的內(nèi)容是在小學自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等基礎上進一步研究計數(shù)法、羅馬數(shù)字、斐波那契數(shù)字、回文數(shù)字、數(shù)的平方根和立方根等。其他幾冊則鞏固、發(fā)展和進一步擴充前面的相關部分內(nèi)容，如Mathscape8在介紹了Mathscape7已有的二維平面的角、幾何圖形的特點，在三維平面的立體后又研究了平面的畢達哥拉斯定理、角和幾何圖形、作出幾何圖形、全等和相似以及圓和圓柱體，Mathscape9引進了坐標幾何，等等。“數(shù)據(jù)”部分內(nèi)容是在Mathscape8開始介紹，包括數(shù)據(jù)表示、數(shù)據(jù)分析和分類、概率等內(nèi)容。“測量”內(nèi)容主要包括時間、長度和周長、面積、體積等的度量。“模式和代數(shù)”部分則是在介紹了數(shù)字模式和未知數(shù)基礎上，研究代數(shù)式的運算、尋求一般模式并代數(shù)化、方程和不等式等的有關內(nèi)容。每冊教材的“數(shù)”“模式和代數(shù)”“數(shù)據(jù)”“測量”“空間和幾何”五部分內(nèi)容又劃分為不同小節(jié)。以Mathscape7為例，共分為13章：正整數(shù)和數(shù)字系統(tǒng)、數(shù)字理論、時間、分數(shù)、數(shù)字模式和變元、小數(shù)、整數(shù)、代數(shù)、角、幾何圖形的特征、測量和長度以及周長、立體、面積。每章又劃分為具體小節(jié)（有的達到14節(jié)），穿插展開。每冊教材內(nèi)容螺旋式編排，注重與前面內(nèi)容的銜接。
教材取材豐富，編排生動。每章按照“小節(jié)、關注于數(shù)學地工作、語言描述有關概念、本章回顧”展開，在部分小節(jié)中安排有“試一試”的內(nèi)容，如“猜一猜我的規(guī)則”“一個瓷磚多長”“跑步者”“汽車顏色”等是在“代數(shù)式的運算”“畢達哥拉斯定理”“折線圖”“解方程”后安排。“語言描述有關概念”是對本章所學主要概念的總結和回顧，以問題形式呈現(xiàn)，要求用自己的語言描述概念，評估對本章內(nèi)容意義的理解。
教材的練習分成基本練習、鞏固練習、進一步應用練習，體現(xiàn)一定層次性。其中鞏固練習是最主要的部分，題量較大，有時達20多個，不過一般學生都能夠完成。進一步應用是難度相對提高的練習，其問題可能是開放性的，也可能包括擴展材料或大綱外的材料，但大部分問題仍然是一般學生能夠接受的。三部分練習題目的難易程度有明顯區(qū)分。
�。ǘ⿵娬{大綱的過程性目標──“數(shù)學地工作”
教材在每章具體內(nèi)容的后面安排有“數(shù)學地工作”，以強調大綱對此部分的要求，這是本套教材的最突出特色。教材從現(xiàn)實生活引入，然后是數(shù)學問題，按照“引入、學習活動、挑戰(zhàn)、交流、反思”進行，以加深對本章知識的理解。此部分選材尤為豐富，從古到今、從人文地理到社會、從數(shù)學到其他科學等，通過豐富和有創(chuàng)意的聯(lián)系生活實際的素材，體現(xiàn)了數(shù)學知識的綜合應用和相互聯(lián)系，如“澳大利亞的本土居民”“神秘社會”“數(shù)學和魔法”“網(wǎng)球錦標賽”“一個核潛艇的相對尺寸”“夢、想象和數(shù)學想法”“分裂原子”等。下面介紹的是Mathscape9“代數(shù)”一章“數(shù)學地工作”的實例，是在介紹完模式與代數(shù)以及代數(shù)式的運算等內(nèi)容后安排的，體現(xiàn)了通過學生的探究、解決問題過程，以加深對知識的理解，并培養(yǎng)交流、推理和反思等能力的過程性目標的要求。
數(shù)學地工作──“來自于帕斯卡1654年的數(shù)字模式”
引入：
帕斯卡（BlaiszPascal1623—1662），法國偉大的數(shù)學家、哲學家、作家和神學家，是與費馬（Fer-mat）和笛卡兒（Descarte）同時代的人。盡管他在幾何上做了很多貢獻，人們記住更多的仍是帕斯卡三角形：
1
11
121
1331
14641
15101051
……
其中每個數(shù)字是它上面一行相鄰兩個數(shù)字的和。這早就為人們所知。然而帕斯卡是第一個系統(tǒng)地探究其模式的人，而且得到了（a＋b）n（n是正整數(shù)）的代數(shù)展開式的字母系數(shù)，如（a＋b）2＝1a2＋2ab＋1b2。
假定三角形最上端的頂點1作為第0行，則“121”是第2行，我們的活動就從這兒開始。
學習活動：
1．第10行的數(shù)字應該是什么？
2．寫出n＝0，1，2，3，4，5時的（a＋b）n的展開式，并完成下表：
n
展開式
0
1
2
3
4
5
3．當展開式中b的指數(shù)增加時，a的指數(shù)有什么變化特點？運用模式預測：
�。╝)（a＋b）6的第一個和最后一個字母；
�。╞）第二個字母；
�。╟）第四個字母。
4．寫出（a＋b）6和（a＋b）10的展開式。
5．取b＝3，猜測（a＋3）5的展開式。
6．假定最上面的數(shù)字1作為第0行，將每一行的數(shù)字相加，有什么規(guī)律嗎？第n行的數(shù)字和是多少？
7．將每一行作為一個獨立數(shù)字，如1，11，121，1331，14641，…，你注意到了什么？
8．你能否發(fā)現(xiàn)1，3，6，10，15，…以及斐波那契數(shù)字？你還能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)字模式？
挑戰(zhàn)：
1．在當?shù)乇ち璧曛杏?9種口味供你選擇，你想一次買三種口味品嘗，可以得出供你選擇的不同方式共有1330種。提示：三種口味都相同，三種口味都不同，兩種口味相同而另一種不同。
注意：兩個草莓口味和一個香草口味的冰激凌，與一個香草口味和兩個草莓口味的冰激凌是同一個選擇。
2．解釋和說明下面表格中的數(shù)據(jù)
冰激凌的品種數(shù)（n）
可供選擇的總數(shù)目
�。看芜x三個品種）
1
1
2
4
3
10
4
20
3．繼續(xù)完成上表，當n＝19時，你是得到1330種選擇嗎？
4．在帕斯卡三角形中你能否得到數(shù)字模式：1，4，10，20，…？
5．對此問題有個一般性解答，如果有n個品種，那么會有種選擇，驗證n＝1，2，3，4成立，并示n＝19時的值。
交流:
分組活動，完成下面兩個表格并展示你的結果。
1．制作一個表格，描述（a＋b）n的展開式（稱為二項式定理）和帕斯卡三角形的關系，說明如何不通過具體相乘而寫下展開式的字母，可以包括a＝b＝1的特殊情況。
2．制作一個表格描述帕斯卡三角形中你能找到的不同數(shù)字模式。
反思：
帕斯卡崇尚“直覺”，一種不需要借助推理的能力。在他的數(shù)學工作中他喜歡預測結果，他經(jīng)常表現(xiàn)出極好的猜想和發(fā)現(xiàn)捷徑的能力。
你喜歡對一個問題作出猜想和尋求捷徑嗎？帕斯卡的一個著名結論是：“推理是那些不知道事實的人發(fā)現(xiàn)的慢和曲折的方法。”你贊同這個觀點嗎？反思“直覺”在數(shù)學學習中的作用，并和你的老師討論一下。
三、從Mathscape教材分析和思考中國初中數(shù)學教材
Mathscape教材在一定程度上體現(xiàn)了澳大利亞NSW初中數(shù)學教材的特點，對照中國初中數(shù)學教材，并結合中國國情，筆者提出以下思考和建議。
�。ㄒ唬┤绾螌Υx擇性和統(tǒng)一性
澳大利亞大綱從階段5就有了選擇性，同一年級學生允許達到不同的水平和要求，有為優(yōu)秀學生準備的專門教材，如Mathscape9擴充和Mathscape10擴充，也允許學生進行較低階段水平的學習，如8年級學生可以學習7年級的課程等。學生初中畢業(yè)后有兩種選擇：繼續(xù)學習兩年的高中課程后升入大學或選擇直接工作，這體現(xiàn)了學生數(shù)學學習的個性差異，反映了教育不能以相同模子塑造人才的特點。對此，我們要結合社會背景進行分析。
首先，要分析國情。澳大利亞大學入學沒有年齡限制，大學入學率相對較高，學生初中畢業(yè)后可以選擇先工作，有一定實踐經(jīng)驗后再進入大學學習。澳大利亞的大學教育也充分考慮了學生的個性差異，達到不同階段要求的學生升入大學后，可以選擇學習大學數(shù)學的不同水平。
其次，要分析學生的實際情況。在低年齡段就實現(xiàn)數(shù)學學習的分流，有可能會使部分學生僅僅因為某些暫時困難，或個人的興趣和愛好就放棄數(shù)學學習，而必要的某些數(shù)學訓練對一個人適應社會還是非常重要的。
因此，中國初中數(shù)學教材在選擇時，就需要充分考慮我國的國情、考慮中學教育與大學教育的銜接以及可施行性與漸進性等。以往的初中教材較多關注了學生的整齊劃一，要求學生按照同一步調達到相同水平，實際這是很困難的，因為不同學生的數(shù)學學習速度、學習水平是不一樣的，目前階段，考慮針對同一內(nèi)容的不同水平要求，或對優(yōu)秀學生的學習內(nèi)容補充或提前進行下階段的學習等，是較為現(xiàn)實可取的。
�。ǘ┤绾慰创A性和創(chuàng)新性
Mathscape教材按照“數(shù)”“模式和代數(shù)”“數(shù)據(jù)”“測量”“空間和幾何”五部分混編、穿插安排內(nèi)容的方式，可以使學生體會代數(shù)、幾何、統(tǒng)計等內(nèi)容的相互關聯(lián)，但過分零散而又較為獨立的分章節(jié)安排，又很難讓學生體會數(shù)學知識的整體性和系統(tǒng)性，難以從眾多的各小節(jié)中理清本章以及整本教材中這五部分內(nèi)部的線索，也沒有一個嚴密的邏輯體系貫穿其中。中國初中數(shù)學教材需要體現(xiàn)知識之間的關聯(lián)，體會代數(shù)、幾何、三角、統(tǒng)計等內(nèi)容之間的聯(lián)系，這是我們以前較為忽視的，但同時，我們不應該放棄我們的優(yōu)勢所在：注重數(shù)學知識的系統(tǒng)性和邏輯性，注重基礎知識和基本技能，培養(yǎng)良好的思維習慣等。
Mathscape教材的一大特點是內(nèi)容取材豐富，從古代瑪雅文化到現(xiàn)代核潛艇，從分裂原子到太陽系，從悉尼的市場價格到世界健康問題，內(nèi)容包羅萬象，教材厚度合適（32K本500多頁），既是一本教科書，一定程度上又是一本內(nèi)容豐富的課外讀物；既有數(shù)學的概念、定理，又有這些概念、定理的實際生活應用背景，包括某些挑戰(zhàn)性題目練習等。從上面所舉“數(shù)學地工作”的實例中，我們不難分析看出如下訓練：1．通過對歷史人物帕斯卡的介紹，擴大學生的知識面，提高數(shù)學學習的興趣。2．重視對學生進行猜想、歸納、發(fā)現(xiàn)等合情推理能力的培養(yǎng)，如通過觀察數(shù)字特征，尋找代數(shù)展開式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)代數(shù)展開式的字母系數(shù)與帕斯卡三角中數(shù)字之間的關系，以及探究帕斯卡三角形數(shù)字的其他規(guī)律，等等，使學生經(jīng)歷帕斯卡最初發(fā)現(xiàn)的過程。3．隨后的選擇不同品種的冰激淋問題，實際是將有關組合、規(guī)律探究，以及代數(shù)式和帕斯卡三角形數(shù)等融合在一起的問題，也是一個現(xiàn)代問題和古代問題相結合的問題。4．通過分組活動并展示結果，以及反思數(shù)學中的直覺，使學生進一步理清所經(jīng)歷的發(fā)現(xiàn)過程以及發(fā)現(xiàn)的結果，評判自己的思維過程，進而培養(yǎng)批判性思維品質。Mathscape教材的這一特點促使我們思考：如何讓我們的教材體現(xiàn)創(chuàng)新性，培養(yǎng)學生的交流能力、反思能力和創(chuàng)造能力等。對此，考慮的幾種可能實現(xiàn)途徑有：展現(xiàn)知識的發(fā)現(xiàn)過程，以使學生經(jīng)歷猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納等過程；豐富內(nèi)容素材、提供來于生活實際和數(shù)學內(nèi)部的問題，以及更多挑戰(zhàn)性問題；指導利用教材以外的更寬泛學習資源，如互聯(lián)網(wǎng)、數(shù)學雜志、課外讀物等，充分發(fā)揮學生潛能；引導利用各種可能的其他學習途徑，如小組學習、綜合活動、實踐調查、小組或個人報告等，促進數(shù)學學習興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。
另外，Mathscape教材通過數(shù)學知識的具體應用進一步體現(xiàn)數(shù)學概念和定理的意義，還通過教材配套光盤介紹大綱本階段的目標。這也是可以吸取之處。
總之，中國初中數(shù)學教材可以在保持一定系統(tǒng)性和邏輯性的基礎上，適當考慮選擇性和創(chuàng)新性。我們以往教材重視系統(tǒng)性，這是我們的特色。如何使得這一特色更加符合學生的認識規(guī)律和認識特點，符合社會發(fā)展特點，是應該我們深入研究的。國外教材的選擇性、開放性、創(chuàng)造性是需要我們學習和借鑒的，然而，過分零散、缺乏系統(tǒng)和邏輯的編排體系是否適合中國的中學數(shù)學教學，如同上面實例介紹的，我們也可以反思一下，“如何理解教材中的推理，教材對培養(yǎng)推理和直覺的作用”等。目前中國初中數(shù)學教材的系統(tǒng)性和邏輯性是需要的，是需要一種適度的、符合學生特點的系統(tǒng)性和邏輯性。同時，我們也要認識到，我們的教材是面向有生機、有活力的生機勃勃的青少年，他們需要繼承前人的知識，也需要創(chuàng)新，他們喜歡挑戰(zhàn)，也需要挑戰(zhàn)，只有讓我們的教材在保持已有優(yōu)良傳統(tǒng)的基礎上，進一步增加教材的挑戰(zhàn)性、親和性、時代性，才是學生喜歡并樂于接受的教材。
�、侔拇罄麃喯つ岽髮W隸屬于新南威爾士州。
