隨著社會經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，特別是計算機(jī)技術(shù)普及，使得數(shù)學(xué)知識廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的實際問題之中。數(shù)學(xué)模型主要是使用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題，因此，數(shù)學(xué)是人們掌握和使用數(shù)學(xué)模型這個工具的必要條件和重要的基礎(chǔ)。沒有廣博的數(shù)學(xué)力學(xué)知識，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)力學(xué)思維訓(xùn)練，是很難使用數(shù)學(xué)力學(xué)模型來解決實際問題的。因此，數(shù)學(xué)模型是連接實際問題和數(shù)學(xué)理論的中間橋梁。

　　[摘要]針對數(shù)學(xué)建模的方法進(jìn)行研究，闡述了數(shù)學(xué)建模在大學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，拓寬了大學(xué)生的知識面以及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的意義。將大學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)用到數(shù)學(xué)建模過程中，介紹了常見的數(shù)學(xué)模型的分類建模方法。結(jié)合實際問題，對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)結(jié)構(gòu)和模式進(jìn)行了分析，然后介紹了數(shù)學(xué)建模教學(xué)改革的方向,從而指導(dǎo)教學(xué)實踐。

　　[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)專業(yè)研究生論文,數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)模型,改革

　　數(shù)學(xué)模型是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對現(xiàn)實問題進(jìn)行簡化，以便人們更加深刻地認(rèn)識所研究的對象。數(shù)學(xué)模型不是對于現(xiàn)實系統(tǒng)的簡單模擬，它是人們用以認(rèn)識顯示系統(tǒng)和解決實際問題的工具，數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實對象信息進(jìn)行提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果，它使用數(shù)學(xué)語言精確地表達(dá)了對象的內(nèi)在特性，然后采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解，通過數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析求解，進(jìn)而對現(xiàn)實問題進(jìn)行定量分析和研究，最終達(dá)到解決實際問題之目的。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的第一步必須要面對實際問題中看起來雜亂無章的現(xiàn)象，從中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號和語言把這個數(shù)學(xué)關(guān)系描述為數(shù)學(xué)公式，這個過程就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建�；顒拥拈_展不但增強(qiáng)了大學(xué)生的創(chuàng)新意識、協(xié)作意識、競爭意識和奉獻(xiàn)意識，更培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造能力、分析問題和解決問題的能力。

　　在我國，創(chuàng)辦于1992年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。2013年，來自全國33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))及新加坡、印度和馬來西亞的1326所院校、23339個隊(其中本科組19892隊、�？平M3447隊)、70000多名大學(xué)生報名參加本項競賽。在這樣的大環(huán)境下，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)阻礙了高等教育的發(fā)展，因此數(shù)學(xué)建模教學(xué)課程的創(chuàng)設(shè)也就成為高等學(xué)校改革的突破口。通過何種手段實施數(shù)學(xué)建模思想，采取何種數(shù)學(xué)建模教育來切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，也就成為高校教師教學(xué)中的一個重大課題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的意識和能力已經(jīng)成為教學(xué)的一個重要方面。

　　一、數(shù)學(xué)模型的分類

　　數(shù)學(xué)模型的分類繁多，但是按人們對事物發(fā)展過程的了解程度可以分為：

　　白箱模型，指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如：力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。

　　灰箱模型，指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如：氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。

　　黑箱模型，指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如：生命科學(xué)、社會科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

　　二、數(shù)學(xué)建模的過程

　　一般說來，建立一個能夠反映現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)模型必須經(jīng)歷幾個過程(圖1)：

　　第一，建立模型的準(zhǔn)備，在建模前首先通過搜集相關(guān)資料來了解問題的實際背景知識。根據(jù)題目的要求，明確其實際意義，有目的地收集相關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，盡量弄清研究對象的特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程，初步確定用何種數(shù)學(xué)工具建立哪一類數(shù)學(xué)模型;

　　第二，模型假設(shè)，這是建模的關(guān)鍵一步。根據(jù)研究對象的特點(diǎn)和研究目的，抓住問題的主要方面以及本質(zhì)，忽略次要因素。對研究問題做出必要的、合理的假設(shè)，從中將實際問題抽象并簡化出一個簡單化的數(shù)學(xué)問題;

　　第三，模型構(gòu)成，分析處理已有的數(shù)據(jù)和資料等，在已做假設(shè)的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法，選用合理的數(shù)學(xué)語言、符號、圖形并分析其內(nèi)在的邏輯關(guān)系來描述研究對象。所采用的數(shù)學(xué)工具要盡量簡單，其模型也一定可行，能夠方便地用數(shù)學(xué)工具求解;

　　第四，模型求解，所建立的模型必須是可行的，根據(jù)不同的數(shù)學(xué)模型要用到相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法來求解其結(jié)果，即能夠使用數(shù)學(xué)工具(Fortran，Matlab，C++等)，對模型進(jìn)行求解(解析解或近似解);

　　第五，模型分析，對模型求解的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析(誤差分析，統(tǒng)計分析，靈敏度分析和穩(wěn)定性分析等)，分析模型中各個參數(shù)之間的相互關(guān)系，同時還需要根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)式的預(yù)測和最優(yōu)決策、控制等，指出結(jié)果的實際意義和模型的適用范圍等;

　　第六，模型驗證，將模型分析的結(jié)果運(yùn)用懂時間問題的解決中并和實際情況比較，用時間的現(xiàn)象和數(shù)據(jù)來驗證模型的合理性、實用性、可靠性和準(zhǔn)確性等。如果求解結(jié)果為數(shù)值解，還要同時考慮所得到的誤差應(yīng)該在實際問題允許的誤差范圍之內(nèi)。若比較相互吻合，說明模型是合理正確的。反之，則說明模型是失敗的，問題可能出在假設(shè)上，此時應(yīng)根據(jù)檢驗的情況對假設(shè)進(jìn)行不斷的修改并完善數(shù)學(xué)模型，重新求解進(jìn)行分析，知道分析結(jié)果和實際情況符合，并且可以滿足精度要求，則認(rèn)為模型可行，便可以進(jìn)行模型的應(yīng)用和推廣。另外，一個正確的模型不但可以解釋已知現(xiàn)象，而且還可以預(yù)測一些未知情況;

　　第七，模型應(yīng)用，將驗證正確的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步推廣到一些實際領(lǐng)域內(nèi)，用以解決實際問題，在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善，從而對實際工作進(jìn)行指導(dǎo)，最終產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)效益。

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　　圖1

　　可見，完整的數(shù)學(xué)建模是一個互動的過程。在建模過程中，就要把本質(zhì)的東西及其關(guān)系反映進(jìn)去，要真實地、系統(tǒng)地、完整地、形象地反映客觀現(xiàn)象，若結(jié)果不理想，還得修改模型，重復(fù)上述過程，以期達(dá)到理想的結(jié)果。要想獲得一個比較正確的數(shù)學(xué)模型，就必須熟悉并掌握一些建模的方法。

　　三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的改革

　　數(shù)學(xué)建模教學(xué)在高等學(xué)校實現(xiàn)素質(zhì)教育及人才培養(yǎng)方面具有不可替代的作用，它是對加強(qiáng)學(xué)生知識，技能、能力、創(chuàng)新和綜合素質(zhì)培養(yǎng)這一中心工作不可缺少的重要組成部分。因此，國外的一些院校對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的環(huán)節(jié)非常重視。然而，我國的數(shù)學(xué)建模卻沒有得到足夠的重視，以我校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)為例，主要存在兩個方面的問題：第一，教學(xué)方式單一，往往是教師一個人在講臺上先把板書寫好，然后按照固定的模式一步一步操作下去，臺下學(xué)生快速地記筆記，課后按部就班地完成作業(yè)。這樣就導(dǎo)致有的學(xué)生雖然可以完成作業(yè)，但是不能夠真正地理解數(shù)學(xué)建模的原理，不會將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，從而難于發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。第二，教學(xué)內(nèi)容陳舊，始終處于停滯狀態(tài)，局限于書本上的例題，這些例題往往和時展相脫節(jié)，教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)不能適應(yīng)相應(yīng)的社會發(fā)展要求。第三，數(shù)學(xué)建模課程缺乏時代性，學(xué)校沒有形成對應(yīng)的管理機(jī)制去監(jiān)督數(shù)學(xué)建模教學(xué)的改革，現(xiàn)有的教學(xué)缺乏針對性，沒有達(dá)到與時俱進(jìn)。甚至，有的高校教學(xué)內(nèi)容沿用了幾年甚至十幾年一成不變的教學(xué)大綱，以至于學(xué)生后來工作后無法將課堂上學(xué)到的知識靈活地運(yùn)用到實際工作中從而滿足自己的工作需要，實現(xiàn)個人價值和社會價值的統(tǒng)一。

　　針對以上數(shù)學(xué)建模教學(xué)中存在的問題，可以采取以下措施進(jìn)行改革創(chuàng)新：

　　(一)傳授模式的改變

　　數(shù)學(xué)建模是一個老師和學(xué)生互動的過程，為了改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，可以改變教師一人講授的傳統(tǒng)方式，也可以采用多媒體教學(xué)。學(xué)生既是被動接受知識的載體，又是整個過程的主要參與者。期間老師可以將該講授內(nèi)容以錄像、動畫和視頻的形式表現(xiàn)出來，也可以通過講授并且啟發(fā)提問的方式，便于學(xué)生思考、提問和討論、從而調(diào)動了學(xué)生的主動性。建模過程是一個復(fù)雜的過程，往往沒有現(xiàn)成的解決方案，此時老師和學(xué)生必須進(jìn)行實際背景調(diào)查，每個學(xué)生都應(yīng)該參與其中，充分發(fā)揮各自的主觀能動性，以便培養(yǎng)學(xué)生在課堂上獨(dú)立思考問題的能力。另外，在課堂上還要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力，沒有一個數(shù)學(xué)模型可以完全解決實際問題。反之，同樣的一個問題也可以有幾種不同的解決方案，基于假設(shè)的不同就會有這樣那樣的數(shù)學(xué)模型，教師和學(xué)生應(yīng)該緊密結(jié)合，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，力爭有一個滿意的解答。

　　(二)傳授內(nèi)容的改革

　　數(shù)學(xué)模型教學(xué)內(nèi)容的選取上，優(yōu)先關(guān)注那些教學(xué)插件的典型性和案例背景的實用性、前沿性和數(shù)學(xué)方法的綜合性的例題。內(nèi)容上，應(yīng)該盡力精選一些實際應(yīng)用的例題進(jìn)行建模教學(xué)示范，所選的數(shù)學(xué)模型不但要密切聯(lián)系生活，更要和本專業(yè)課程緊密結(jié)合。通過展示這些例題的建模過程，不但使學(xué)生進(jìn)一步加深對于數(shù)學(xué)建模原理的理解，還應(yīng)該使學(xué)生明白如何將本專業(yè)所遇到的實際問題轉(zhuǎn)換為理論問題，幫助學(xué)生理論聯(lián)系實際，提高學(xué)生解決本專業(yè)實際問題的能力。

　　(三)引入數(shù)學(xué)軟件, 開設(shè)數(shù)學(xué)實驗

　　隨著計算機(jī)技術(shù)的空前發(fā)展，對于數(shù)學(xué)模型的求解完全可以借助于一些數(shù)學(xué)軟件來快速實現(xiàn)。這就要求在大學(xué)課堂中除了要求學(xué)生掌握建模原理之外，更應(yīng)該要求學(xué)生了解和掌握利用數(shù)學(xué)工具(C語言，Matlab，Maple，Mathematica，Gauss，Xmath等)來計算和解決比較復(fù)雜的科學(xué)問題。因此，必須開設(shè)相對應(yīng)的課程以普及和介紹數(shù)學(xué)軟件的各種運(yùn)算和圖形處理功能，同時還根據(jù)專業(yè)情況利用各個軟件現(xiàn)有的工具箱來簡化建模過程和擴(kuò)充符合計算功能和仿真功能。在此基礎(chǔ)之上，把數(shù)學(xué)工具軟件應(yīng)用到現(xiàn)有的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，可以提高數(shù)學(xué)建模的效率和質(zhì)量，豐富了數(shù)學(xué)建模的方法和手段。

　　四、結(jié)語

　　目前，歐美國家的一些學(xué)校和教師早已經(jīng)把數(shù)學(xué)建模實驗課運(yùn)用到實際中，切實發(fā)揮學(xué)生的動手能力和思考問題能力，培養(yǎng)了一大批能為社會作貢獻(xiàn)的科學(xué)家。作為發(fā)展中的國家，我們更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)質(zhì)量的提高，切實實現(xiàn)面向未來、面向世界的教育模式。然而，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的改革是一個循序漸進(jìn)的過程，在這個過程中就要揚(yáng)長避短，拋棄陳舊觀念，為高等學(xué)校的改革創(chuàng)造一個良好的環(huán)境。

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