【摘要】本文介紹了小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展，并就其原理和數(shù)學(xué)描述給給出了說(shuō)明，進(jìn)一步說(shuō)明了小波分析在消除噪聲方面的應(yīng)用原理與方法，著重進(jìn)行了非平穩(wěn)信號(hào)小區(qū)噪聲的研究，進(jìn)行了算法研究和仿真實(shí)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】小波分析;小波去噪;非平穩(wěn)信號(hào);matlab仿真

Abstract：This paper describes the emergence and development of wavelet analysis, and its principle and mathematical description was given instructions, further illustrates the application principles and methods of wavelet analysis to eliminate noise, this paper focus on the residential noise of non-stationary signals study, carried out the algorithm and simulation results.

Key words: wavelet analysis; wavelet denoising; non-stationary signals; matlab simulation

小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過(guò)近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時(shí)間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。

小波(Wavelet)這一術(shù)語(yǔ)，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性;而稱之為“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時(shí)間(空間)頻率的局部化分析，它通過(guò)伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問(wèn)題，成為繼Fourier變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。

一、小波分析原理及其數(shù)學(xué)描述

小波分析是一種窗口大小(即窗口面積)固定但其形狀可改變，時(shí)問(wèn)和率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率較低的時(shí)間分辨率，即在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。

二、小波去噪原理

運(yùn)用小波的多分辨分析特性進(jìn)行信號(hào)、圖像的去噪處理是小波分析的重要應(yīng)用之一。

在實(shí)際工程中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)。

小波閾值去噪的處理方法一般有以下三種：

1)強(qiáng)制去噪處理。該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)榱�，即基于小波分析的車牌識(shí)別系統(tǒng)研究把高頻部分全部濾掉，然后在對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理;這種方法比較簡(jiǎn)單，重構(gòu)后的去噪信號(hào)也比較平滑，但容易丟失信號(hào)的有用成分;

2)閾值去噪處理。該方法利用ddencmp函數(shù)產(chǎn)生信號(hào)的默認(rèn)閾值，然后利用wdencmp函數(shù)進(jìn)行去噪處理;

3)給定軟(或硬)閾值去噪處理，閾值往往可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得，而且這種閾值比默認(rèn)閾值更具有可信度。

三 、小波去噪的研究

噪聲通常被認(rèn)為是有害信號(hào)，一般情況下應(yīng)被抑制，然而，噪聲中也可能包含許多有用信息，如機(jī)電一體化設(shè)備運(yùn)行中所產(chǎn)生的噪聲，就在一定程度上包含了反映其工作情況，狀態(tài)信息或參數(shù)等內(nèi)容，因?yàn)檫@些設(shè)備在運(yùn)行時(shí)，其中力、速度、加速度的變化以及振動(dòng)的振幅、頻率等信息都會(huì)以噪聲的形式表現(xiàn)出來(lái)。如果能采集、記錄到這樣的噪聲信號(hào)并對(duì)其進(jìn)行必要的處理，就能從中提取到機(jī)電設(shè)備的工作情況、狀態(tài)參數(shù)等重要信息，還能以此作為我們對(duì)其進(jìn)行監(jiān)控的手段之一。利用噪聲信號(hào)中的有用信息進(jìn)行機(jī)電設(shè)備的故障診斷或狀態(tài)監(jiān)控，關(guān)鍵之處就是要對(duì)它進(jìn)行合適的處理，因?yàn)樵谏�產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)所采集到的噪聲信號(hào)非常繁雜且數(shù)據(jù)量很大，這其中有不少是無(wú)用數(shù)據(jù)，若不進(jìn)行處理的話，很難獲得我們想要的信息。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，所分析的信號(hào)可能包含許多尖峰或突變部分，并且噪聲也不是平衡的白噪聲，對(duì)這種信號(hào)進(jìn)行分析，首先需要作信號(hào)的預(yù)處理，將信號(hào)的噪聲部分去除，提取有用信號(hào)。對(duì)這種信號(hào)的消噪，傳統(tǒng)的傅里葉變換顯得無(wú)能為力，因?yàn)楦道锶~分析是將信號(hào)完全在頻率域中進(jìn)行的，它不能給出信號(hào)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的信號(hào)變化情況。而小波分析由于能同時(shí)在時(shí)、頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，所以它能有效地區(qū)分信號(hào)中的突變部分和噪聲，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的消噪。

1、小波分析用于降噪的過(guò)程

小波分析用于降噪的過(guò)程，可細(xì)分為如下幾段。

1)分析過(guò)程：選定一種小波，對(duì)信號(hào)進(jìn)行N層小波(小波包)分解;

2)作用閾值過(guò)程：對(duì)分解得到的各層系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作用軟閾值處理;

3)重建過(guò)程：降處理后的系數(shù)通過(guò)小波(小波包)重建恢復(fù)原始信號(hào)。

這個(gè)過(guò)程基于下如基本假設(shè)，即攜帶信息的原始信號(hào)在頻域或小波域的能量相對(duì)集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號(hào)分析系數(shù)的絕對(duì)值比較大，而噪聲信號(hào)的能量譜相對(duì)分散，所以其系數(shù)的絕對(duì)值小，這樣我們就可以通過(guò)作用閾值的方法過(guò)濾掉絕對(duì)值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而達(dá)到降噪的效果。

2、用小波分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)消除噪聲

在一個(gè)方波信號(hào)上加入一個(gè)高斯白噪聲，再將其分別用小波分析和傅里葉變換進(jìn)行信號(hào)噪聲消除。

1)小波基的選擇：

作為小波的函數(shù) ，它一定要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，但若時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面往往只能取一個(gè)折中。此外，希望由母小波 形成的 是兩兩正交的;進(jìn)一步希望 有高階的消失矩，希望與 相關(guān)的濾波器具有線性相位等等。這里選擇的是sym小波，又稱為正交小波，它是雙正交小波，并是緊支撐的，且 接近對(duì)稱(故所用的濾波器可接近于線性相位)。

2)小波多尺度分解各子帶系數(shù)的特點(diǎn)及噪聲影響

對(duì)圖像的小波變換覆蓋了圖像頻帶90%的小波系數(shù)集中在21、22、23它們包含了大部分圖像信息，所以可以只考慮這三個(gè)尺度的信息，而尺度2j> 23 的信息保留在圖像的低頻分量中。隨著層數(shù)的增加，小波系數(shù)的范圍越來(lái)越大，說(shuō)明較低層的小波系數(shù)具有更重要的地位。分辨率最低時(shí)，該子帶小波系數(shù)的范圍比別的子帶小波系數(shù)范圍寬，值和方差都比別的要大，說(shuō)明這些小波系數(shù)同樣具有重要地位。

在各個(gè)子帶做特征提取之前，應(yīng)首先考慮圖像中噪聲對(duì)子帶系數(shù)的影響。根據(jù)Donoho 的理論對(duì)含噪圖像連續(xù)做幾次小波分解之后，由空間分布不均勻的干凈圖像所對(duì)應(yīng)的各尺度上小波系數(shù)在某些特定的位置有較大的值，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)干凈圖像的畸變位置和重要信息，而其它大部分位置的值較小;對(duì)于白噪聲而言，它對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)在每一尺度上的分布是均勻的，并隨著尺度的增加，系數(shù)的幅值有所減小�？梢钥闯�，噪聲的影響主要集中在最高頻子帶中。因此考慮消噪問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)噪聲小波分解的系數(shù)的特點(diǎn)找一個(gè)合適閾值λ，把低于λ的小波系數(shù)視為主要由噪聲引起的設(shè)為0，而高于λ的予以保留，對(duì)最高頻子帶可提高閾值以減少噪聲影響。

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