輸油管布置問(wèn)題的優(yōu)化模型
李蕙萱 吳瑞溢
摘要：給出了2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題的一種求解方法。分別針對(duì)C題提出的3個(gè)問(wèn)題，建立了非線性規(guī)劃模型，并運(yùn)用Matlab軟件包給出了模型的最優(yōu)解。
關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃 管線鋪設(shè) 優(yōu)化模型

1 問(wèn)題的提出
本文討論2010年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題的解答，問(wèn)題如下：某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法[1]。
問(wèn)題1：針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時(shí)，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。
問(wèn)題2： 設(shè)計(jì)院目前需對(duì)一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由圖1所示，A廠位于郊區(qū)（圖1的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖1的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。

圖1

 

所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬(wàn)元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。
問(wèn)題3：結(jié)合實(shí)際，根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬(wàn)元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬(wàn)元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬(wàn)元，拆遷等附加費(fèi)用同上。
2 符號(hào)說(shuō)明
______________________________________

A、B：鐵路同側(cè)的兩家煉油廠。
C、D：A、B兩家煉油廠在鐵路上的投影點(diǎn)。
E：增建的車站。
P：共用管線和非共用管線的連接點(diǎn)。
Q：城區(qū)與非城區(qū)的的油管連接點(diǎn)。
S：輸油管的總長(zhǎng)。
F：輸油管線的總費(fèi)用。
：A煉油廠到鐵路的垂直距離。
b: B煉油廠到鐵路的垂直距離，且 。
C：A煉油廠到區(qū)域分界線的垂直距離。
: A、B兩家煉油廠的投影點(diǎn)距離。
根據(jù)煉油廠及鐵路線位置，建立如下的坐標(biāo)：以鐵路所在的直線為x軸，以C點(diǎn)為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸。則管線的鋪設(shè)方案可歸結(jié)為平面幾何問(wèn)題。

3 模型的建立與求解

3.1 問(wèn)題1的分析與求解
設(shè)車站點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）， 如圖2所示。
圖2

 

為使所鋪設(shè)管線盡量短，顯然共用管線應(yīng)垂直于鐵路線。問(wèn)題1也即確定點(diǎn)E、P的位置，使點(diǎn)P到A、B、E的距離之和最小。因此我們的問(wèn)題可化為求解：

 

3.2 問(wèn)題2的分析與求解

問(wèn)題2相比較問(wèn)題1多考慮了一個(gè)因素——拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，這就導(dǎo)致了城區(qū)和郊區(qū)所鋪設(shè)的每單位管線費(fèi)用不相同。設(shè) 表示非城區(qū)每單位管線費(fèi)用， 表示城區(qū)拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，在城區(qū)與郊區(qū)的臨界線處增加一個(gè)變量Q ，問(wèn)題2也可轉(zhuǎn)化為：確定點(diǎn)E、P級(jí)Q，使得總鋪設(shè)費(fèi)用最小。不妨設(shè)車站位置E在非城區(qū)（如在城區(qū)可類似計(jì)算），則問(wèn)題2可化為求解：

 

具體情況如圖3：

                                                          圖3

3.3 問(wèn)題3的分析與求解

問(wèn)題3針對(duì)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管，設(shè)輸送A廠成品油的管線鋪設(shè)費(fèi)用為 =5.6，輸送B廠成品油的管線鋪設(shè)費(fèi)用為 =6.0，共用管線費(fèi)用為 =7.2， 表示城區(qū)拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。建立模型：

利用Matlab軟件包進(jìn)行求解得：E（0.3286，0），郊區(qū)與城區(qū)臨界處坐標(biāo)Q（15.0000，7.9861），相應(yīng)的費(fèi)用最省為 。

4 模型的評(píng)價(jià)

非線性規(guī)劃模型具有成熟的理論基礎(chǔ)，又有相應(yīng)的專業(yè)軟件支持，實(shí)用性強(qiáng)。模型經(jīng)過(guò)多次修正，綜合考慮了很多因素，從而給出最優(yōu)方案，具有較大的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)
吳建國(guó)，《數(shù)學(xué)建模案例精編》，北京：中國(guó)水利水電出版社，2005。
姜啟源，《數(shù)學(xué)模型》，北京：高等教育出版社，1987。
趙靜，但琦，《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，北京：高等教育出版社，2003。

A optimization model of the oil transmission pipeline
Li Hui-xuan，Wu Rui-yi
（Department of Public Teaching , Liming Vocational University , Quanzhou 362000 , China）
Abstract: The paper mainly puts forwards a solution to the problem C of 2010 China undergraduate MCM. Therefore, respectively concerning the three questions raised by the problem C of 2000 China undergraduate MCM, a nonlinear rogramming model was proposed, and MATLAB was used for the optimum solution of the model.
Keywords : nonlinear programming，pipe installation，optimization model

附件
問(wèn)題1的程序：
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5; %煉油廠位置及其附加費(fèi)參數(shù)
x=fminunc('fun',[0 0 0]);
h=fun(x);
P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
plot([P(1),Q(1)],[P(2) Q(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([c,c],[0,9],'r--')
text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')

function h=fun(x)
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
h=x(2)+sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(b-x(3))^2);

問(wèn)題2的程序：

a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5; %煉油廠位置及其附加費(fèi)參數(shù)
x=fminunc('fun2',[0 0 0]);
h=fun2(x);
P=[x(1),x(2)],Q=[c,x(3)],h
A=[0,a];B=[l,b];X=[x(1),0];
plot([P(1),Q(1)],[P(2) Q(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),A(1)],[P(2),A(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([P(1),X(1)],[P(2),X(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([Q(1),B(1)],[Q(2),B(2)],'o-','LineWidth',2),hold on
plot([c,c],[0,9],'r--')
text(A(1),A(2)+0.3,'A'),text(B(1),B(2)+0.3,'B')
text(P(1),P(2)+0.3,'P'),text(Q(1),Q(2)+0.3,'Q')

function h=fun2(x)
a=5;b=8;c=15;l=20;k=21.5;
h=7.2*x(2)+5.6*sqrt(x(1)^2+(x(2)-a)^2)+sqrt((x(1)-c)^2+6.0*(x(2)-x(3))^2)+k*sqrt((l-c)^2+(21.5+6)*(b-x(3))^2);
 

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