摘要：為使空間故障樹理論具有分析離散可靠性數(shù)據(jù)的能力，基于因素空間理論提出了一種分析系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)最簡式的方法，主要用于了解系統(tǒng)功能與元件功能之間的因果關(guān)系和內(nèi)涵。給出了系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)最簡式方法的步驟和相關(guān)定義;使用一個系統(tǒng)的32條故障狀態(tài)組成背景空間，分析其中蘊涵的系統(tǒng)功能與元件功能關(guān)系。同時隨機選擇23條故障狀態(tài)組成了一個背景空間子集，得到蘊涵的功能關(guān)系。對比兩種功能關(guān)系的最簡結(jié)構(gòu)式差異，根據(jù)布爾代數(shù)，得到元件之間的隱含功能關(guān)系為：元件Z3的功能與Z1或Z2或Z1+Z2的功能相同。從而得到關(guān)于系統(tǒng)可靠性的元件等效和替換關(guān)系。同時背景空間的兩個子集最簡結(jié)構(gòu)式的和不等于原背景空間最簡結(jié)構(gòu)式，給出了兩者相等的條件。

　　關(guān)鍵詞：安全科學(xué);因素空間;空間故障樹;功能結(jié)構(gòu)分析;背景空間子集;最簡結(jié)構(gòu)式

　　0引言

　　一般系統(tǒng)設(shè)計是正向的，由系統(tǒng)整體功能出發(fā)，通過一定的功能分解，最終落實到元件或子系統(tǒng)。正向設(shè)計容易滿足系統(tǒng)的設(shè)計目的，從而完成某項確定功能。但根據(jù)功能所設(shè)計的系統(tǒng)是否為結(jié)構(gòu)最優(yōu)卻很難確定。該問題一方面從系統(tǒng)功能考慮，另一方面則從經(jīng)濟上考慮。另外，如果已知某個系統(tǒng)可能由一些特定的元件或子系統(tǒng)組成，且知道其系統(tǒng)功能隨元件功能的變化規(guī)律，但系統(tǒng)無法打開或根本得不到，那么該系統(tǒng)將無法被仿制。這些問題可概括為系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析問題。即知道系統(tǒng)組成的基本單元功能特征和系統(tǒng)所表現(xiàn)出的功能特征，研究系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)與元件的組成關(guān)系。當(dāng)然該內(nèi)部組成結(jié)構(gòu)可能是一個等效的功能結(jié)構(gòu)，不是真正的物理結(jié)構(gòu)。

　　系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析是識別和認(rèn)識系統(tǒng)的有效工具，一些學(xué)者也進行了這方面研究[1~10]。這些研究雖然在各領(lǐng)域取得了良好效果，但終究是正向地研究系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)。對于前文提出的問題難以解決。另一方面，系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析是一種復(fù)雜的推理過程。相關(guān)研究較少是由于技術(shù)工程學(xué)者對于制定一套嚴(yán)謹(jǐn)可行的邏輯數(shù)學(xué)推理系統(tǒng)是難以實現(xiàn)的。作者早些提出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)反分析方法也存在推理不嚴(yán)謹(jǐn)和邏輯性差的缺點。所以急需專業(yè)學(xué)者與數(shù)學(xué)家合作來完成這項工作，這是本文的主要目的。

　　任何一個系統(tǒng)都有其特定的結(jié)構(gòu)、環(huán)境與功能，結(jié)構(gòu)和環(huán)境是內(nèi)外因，功能是果。為改善功能而調(diào)整結(jié)構(gòu)，從功能來探索結(jié)構(gòu)是一種復(fù)雜得科學(xué)問題。因素空間理論為系統(tǒng)的功能結(jié)構(gòu)分析提供了一個簡捷的平臺。因素空間理論只需確立論域及對條件、結(jié)果等因素的觀測手段，得到一組樣本點，形成一張因素分析表，就可進行功能結(jié)構(gòu)分析。

　　作者將因素空間理論引入空間故障樹分析中。用因素空間的思想幫助空間故障樹分析離散可靠性數(shù)據(jù)蘊涵的系統(tǒng)功能與元件功能之間的關(guān)系。提出一種系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)最簡式分析方法來完成上述任務(wù)。并舉例分析背景空間和兩個背景空間子集的最簡結(jié)構(gòu)式，及隱含的元件功能關(guān)系。給出背景空間的兩個子集最簡結(jié)構(gòu)式的和等于原背景空間最簡結(jié)構(gòu)式的條件。

　　1空間故障樹與因素空間介紹

　　為了解系統(tǒng)工作環(huán)境因素對系統(tǒng)可靠性的影響，作者提出了一套空間故障樹(SpaceFaultTree，SFT)理論[11]，該理論認(rèn)為系統(tǒng)工作于環(huán)境之中，由于組成系統(tǒng)的基本事件或物理元件的性質(zhì)決定了其在不同條件下工作的故障發(fā)生概率不同。SFT有三個分支：連續(xù)型空間故障樹(continuousspacefaulttree，CSFT)，離散型空間故障樹(discretespacefaulttree，DSFT)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)反分析(inwardanalysisofstructuralsystems，IASS)。

　　CSFT是一種知道系統(tǒng)內(nèi)部構(gòu)造和元件性質(zhì)，再研究系統(tǒng)在外界作用下響應(yīng)行為的一種“白盒”方法。提出了SFT基本思想[12]，參照經(jīng)典故障樹給出了概念和方法。研究了SFT的徑集域與割集域[13]，因素重要度分布[14]。同時利用上述基本概念完成了一些研究，包括：維持系統(tǒng)可靠性方法[15]，系統(tǒng)可靠性決策規(guī)則發(fā)掘方法[16]，系統(tǒng)可靠性評估方法優(yōu)化[17]等。

　　DSFT不需要了解系統(tǒng)內(nèi)部構(gòu)造和元件性質(zhì)，研究基礎(chǔ)是系統(tǒng)對外界環(huán)境變化的響應(yīng)特征，相當(dāng)于“黑盒”方法。給出了DSFT的定義和性質(zhì)[18]，然后在此定義下研究了DSFT的建立及故障概率空間分布[19]。使用模糊結(jié)構(gòu)元方法改造了特征函數(shù)，包括模糊結(jié)構(gòu)元特征函數(shù)構(gòu)建[20]和模糊結(jié)構(gòu)元的SFT概念重構(gòu)等。

　　IASS在不清楚系統(tǒng)內(nèi)部具體構(gòu)造情況下，通過系統(tǒng)對外界環(huán)境因素變化的響應(yīng)來剖析和窺探系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)。形成一種等效的偽結(jié)構(gòu)。研究了二值的01型SFT的表示和分析方法。包括逐條分析法和分類推理法[21]。

　　為了適應(yīng)信息革命和大數(shù)據(jù)時代的需要，要更多地切入智能數(shù)據(jù)領(lǐng)域。在這方面，中國早期學(xué)者汪培莊教授于1983年提出了因素空間(FactorSpace，F(xiàn)S)的數(shù)學(xué)理論[22]為大數(shù)據(jù)的分析和處理奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。目前FS得到了廣泛的研究和承認(rèn)，相關(guān)研究如下：背景空間的信息壓縮、FS處理非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)[23]、因素粒化空間的嵌套結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)認(rèn)知生態(tài)系統(tǒng)[24]、評價與決策理論[25,26]、FS與公共安全[27]、代數(shù)、拓?fù)洹⑽⒎謳缀�、范疇理論的綜合研究等。FS理論在智能科學(xué)和大數(shù)據(jù)領(lǐng)域中取得了較大突破，但并未融入到具體科學(xué)技術(shù)中，SFT與FS的結(jié)合為后者在安全科學(xué)的可靠性及故障分析領(lǐng)域提供了發(fā)展空間。結(jié)合SFT與FS理論完成了一些研究。包括：FS的屬性圓定義及其在對象分類中的應(yīng)用[28]，考慮范圍屬性的系統(tǒng)安全分類決策規(guī)則研究[29]，基于FS的煤礦安全情況區(qū)分方法研究[30]，同時也進行了一些系統(tǒng)可靠性分析研究[31]。這些研究證明了FS與SFT結(jié)合的可行性。

　　2系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)最簡式方法

　　給定因素功能結(jié)構(gòu)分析表，要求出指定功能類的最簡結(jié)構(gòu)式，其步驟如下：

　　因素功能結(jié)構(gòu)分析表中的功能類分為兩種，即成功類T和失效類F，表中最后一行功能因素g的相即表示功能T或F。功能因素g表示對象結(jié)構(gòu)因素在取不同相時的對象功能。

　　設(shè)因素功能分析表中有M個對象um，m=1,2,…,M;有N個結(jié)構(gòu)因素fn，n=1,2,…,N，和一個功能因素g，所以表中因素可統(tǒng)一表示為fn+1;對象um在因素fn+1下的相xn+1的數(shù)量與因素相同。對象um的相集為{xn+1}m={xn+1|fn+1(um)=xn+1,n=1,2,…,N}，fn+1(um)表示對象um在因素fn+1下的相。為表現(xiàn)方便，相集可改寫為相的串xn|m=x1x2…xN，用以相集按照T或F分類后進行表示。因素功能分析表可作為因素空間分析中的背景空間B，則B=∪xn+1|1~m,n=1,2,…,N且m=1,2,…,M。設(shè)對象相集中相的個數(shù)為相集長度λ。

　　a)對因素功能結(jié)構(gòu)分析表中的對象um與因素fn+1對應(yīng)的相xn+1進行組合，將同一對象um對不同因素fn+1的相xn+1，即因素功能結(jié)構(gòu)分析表的一列組成相集xn+1|m表示該對象um。

　　b)在因素結(jié)構(gòu)分析表中的所有列，即所有對象的相集xn+1|m再組成集合，作為背景空間B，B=∪xn+1|1~m,n=1,2,…,N且m=1,2,…,M。

　　c)根據(jù)背景空間B中所有相集xn+1|1~m的功能因素g對對象um進行T或F分類。

　　d)將背景空間所有相集中的相拆分為長度λ=1的相，所有的背景空間中出現(xiàn)的無重復(fù)相組成篩選相集Γ。分別使用篩選相集Γ中的相Λ(當(dāng)λ>1時，Λ為相集)遍歷F類中所有相集，如果這些相集均不包含相Λ且T類中相集包含，那么相Λ為T類的一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)，從T類相集中刪除包含相Λ的相集。

　　e)設(shè)λ=λ+1，這是在篩選相集Γ中任意取λ+1個相組成的相集Λ。分別使用相集Λ遍歷F類中所有相集，如果均不包含相集Λ且T類中相集包含，那么相集Λ為T類的一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)，從T類相集中刪除包含相集Λ的相集。

　　f)重復(fù)步驟e)直到T類中的相集全部刪除為止。

　　g)將所有結(jié)構(gòu)式ξ(T)用邏輯并“+”連接，即為背景空間B所表示的成功類T的最簡結(jié)構(gòu)式ζ(T)。相關(guān)定義因素空間、相集、功能結(jié)構(gòu)分析表、背景空間等見文獻(xiàn)[32,33]。

　　3系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)分析

　　用空間故障樹中系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析實例進行分析。該例為開關(guān)系統(tǒng)Z，它由5種元器件Z1,…,Z5組成,他們的功能情況由5個功能因素F=(f1,f2,f3,f4,f5)表示，每個功能因素具有相空間X(fj)={x1j,x0j}={xj,xj}，j=1,…,5，x1j表示Zj通，x0j表示器件Zj斷;功能因素g具有相空間X(g)={T,F}，T表示系統(tǒng)Z通，F(xiàn)表示系統(tǒng)Z斷。字的集合由十個字組成{x1,x1,x2,x2,x3,x3,x4,x4,x5,x5}。每個元件的功能有兩種狀態(tài)(F,T)，共32條相組成論域U，也組成了背景空間B，如表1所示。表1中背景空間為B=∪x6|1~32，根據(jù)功能結(jié)構(gòu)最簡式方法對系統(tǒng)取功能類T的功能結(jié)構(gòu)進行分析。

　　a)32個對象構(gòu)成背景空間B，將這32個相集x5|1~32分成功能類T與F兩類：T={x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5};F={x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5}。對功能類T的相集進行并運算得T的邏輯表達(dá)式：T=x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5+x1x2x3x4x5，其中：+號表示并聯(lián);x1x2x3x4x5表示串聯(lián)，該邏輯公式就是系統(tǒng)Z的功能結(jié)構(gòu)表達(dá)式。

　　b)λ=1，在F類相集中，X5|1=x1x2x3x4x5，它包含x1，x2，x3，x4，x5的λ=1的相Λ;X5|2=x1x2x3x4x5，它包含x1，x2，x3，x4，x5的λ=1的相Λ。將X5|1和X5|2相集拆解，將λ=1的相Λ無重復(fù)的組成篩選相集Γ={x1，x1，x2，x3，x4，x5}。同理，將F中的所有相集拆解，將λ=1的相Λ無重復(fù)的組成篩選相集Γ={x1,x2,x3,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5}。

　　c)λ=λ+1=2，在篩選相集Γ={x1,x2,x3,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5}中，任意選取兩個相組成λ=2的相集Λ，這些相集無重復(fù)的組成λ=2時的篩選集合Γ。根據(jù)步驟5)和Γ對F類相集進行篩選。Γ中λ=2的Λ=x1x4，其不在F類相集中出現(xiàn)而在T類中出現(xiàn)，那么相Λ為T類的一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)，ξ(T)=x1x4。去掉T類中包含Λ=x1x4的相集，得到T={x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5,x1x2x3x4x5}。另外，Γ中λ=2的Λ=x3x5也不在F類相集中出現(xiàn)而在T類中出現(xiàn)，那么相Λ為T類的另一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)=x3x5。去掉T類中包含Λ=x3x5的相集，則T={x1x2x3x4x5}。

　　d)λ=λ+1=3，Γ中λ=3的Λ=x1x2x3，其不在F類相集中出現(xiàn)而在T類中出現(xiàn)，那么相Λ為T類的一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)，ξ(T)=x1x2x3。去掉T類中包含Λ=x1x2x3的相集，得到T==Æ。

　　T=Æ為算法停止條件。根據(jù)步驟7)將得到的T的結(jié)構(gòu)式加在一起，得到T的最簡結(jié)構(gòu)式是ζ(T)B=x1x4+x3x5+x1x2x3，那么系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)為Z=Z1Z4+Z3Z5+Z1Z2Z3。取背景空間中23個相集組成另一個背景空間B1=∪x6|1~23，這23個相集如表1中深色部分。

　　a)背景空間B1∈B共有23個相集，將這23個相集x5|1~23分成功能類T與F兩類：T={x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5};F={x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5}。

　　b)λ=1，在F類相集中，X5|1=x1x2x3x4x5，它包含x1，x2，x3，x4，x5的λ=1的相Λ;X5|2=x1x2x3x4x5，它包含x1，x2，x3，x4，x5的λ=1的相Λ。將X5|1和X5|2相集拆解，將λ=1的相Λ無重復(fù)的組成篩選相集Γ={x1，x1，x2，x3，x3，x4，x5}。同理，將F中的所有相集拆解，將λ=1的相Λ無重復(fù)的組成篩選相集Γ={x1,x2,x3,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5}。

　　c)λ=λ+1=2，在篩選相集Γ={x1,x2,x3,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5}中，任意選取兩個相組成λ=2的相集Λ，這些相集無重復(fù)的組成λ=2時的篩選集合Γ。根據(jù)步驟5)和Γ對F類相集進行篩選。Γ中λ=2的Λ=x1x4，其不在F類相集中出現(xiàn)而在T類中出現(xiàn)，那么相基Λ為T類的一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)，ξ(T)=x1x4。去掉T類中包含Λ=x1x4的相集，得到T={x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5}。另外，Γ中λ=2的Λ=x3x5也不在F類相集中出現(xiàn)而在T類中出現(xiàn)，那么相集Λ為T類的另一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)=x3x5。去掉T類中包含Λ=x3x5的相集，則T=Æ。得到T的最簡結(jié)構(gòu)式是ζ(T)B1=x1x4+x3x5+x1x2，系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)為Z=Z1Z4+Z3Z5+Z1Z2。比較功能結(jié)構(gòu)Z=Z1Z4+Z3Z5+Z1Z2Z3和功能結(jié)構(gòu)為Z=Z1Z4+Z3Z5+Z1Z2，背景空間B=∪x6|1~32比背景空間B1=∪x6|1~23得到的系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)更為詳盡。即背景空間子集缺乏對系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)的約束。如果ζ(T)B和ζ(T)B1所表示的系統(tǒng)具有相同的功能變化特征，那么意味著x1x4+x3x5+x1x2等價于x1x4+x3x5+x1x2x3。通過邏輯關(guān)系可得到，x3等價于{x1,x2,x1+x2}，即元件Z3的功能與Z1或Z2或Z1+Z2的功能相同。最終，在系統(tǒng)設(shè)計和使用過程中，可通過該功能等效關(guān)系，進行元件的替換或維修。

　　分析在表1中除上述23個相集之外的9個相集，組成B1=∪x6|1~9，相當(dāng)于B2∈B，B2∩B1=∅，B2∪B1=B。

　　a)9個對象構(gòu)成背景空間B，將這9個相集x5|1~9分成功能類T與F兩類：T={x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5};F={x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5，x1x2x3x4x5}。

　　b)λ=1，在F類相集中，X5|1=x1x2x3x4x5，它包含x1，x2，x3，x4，x5的λ=1的相Λ;X5|2=x1x2x3x4x5，它包含x1，x2，x3，x4，x5的λ=1的相Λ。將X5|1和X5|2相集拆解，將λ=1的相Λ無重復(fù)的組成篩選相集Γ={x1，x1，x2，x3，x4，x5}。同理，將F中的所有相集拆解，將λ=1的相Λ無重復(fù)的組成篩選相集Γ={x1,x2,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5}。相x3不在F類出現(xiàn)，也不再T類中出現(xiàn)，所以不是結(jié)構(gòu)式。

　　c)λ=λ+1=2，在篩選相集Γ={x1,x2,x4,x5,x1,x2,x3,x4,x5}中，任意選取兩個相組成λ=2的相集Λ，這些相集無重復(fù)的組成λ=2時的篩選集合Γ。根據(jù)步驟5)和Γ對F類相集進行篩選。Γ中λ=2的Λ=x1x4，其不在F類相集中出現(xiàn)而在T類中出現(xiàn)，那么相Λ為T類的一個結(jié)構(gòu)式ξ(T)，ξ(T)=x1x4。去掉T類中包含Λ=x1x4的相集，得到T=Æ。

　　得到T的最簡結(jié)構(gòu)式是ζ(T)B2=x1x4，系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)為Z=Z1Z4。

　　上述實例分析說明，當(dāng)B1∈B，B2∈B，B2∩B1=∅，B2∪B1=B時，ζ(T)B≠ζ(T)B1+ζ(T)B2，即x1x4+x3x5+x1x2x3≠x1x4+x3x5+x1x2+x1x4。背景空間的若干個子集得到的最簡結(jié)構(gòu)式不一定等于背景空間全集的結(jié)構(gòu)式之和，同時也存在等于的情況。這取決于所有相集或樣本的劃分情況。背景空間的子集如果包含了多個λ=1的相且不同狀態(tài)，那么這個背景空間子集就可產(chǎn)生含有加號較多的最簡結(jié)構(gòu)式，表示蘊涵信息較多，如B1。如果背景空間子集蘊涵λ=1的相的狀態(tài)單一，那么所表現(xiàn)的最簡結(jié)構(gòu)式所含信息較少，如B2。根據(jù)上述情況，如果背景空間劃分為兩個子集，那么滿足B1∈B，B2∈B，B2∩B1=∅，B2∪B1=B，且B1和B2所含相集相同，且包含所有的λ=1的相狀態(tài)，此時ζ(T)B=ζ(T)B1+ζ(T)B2。這說明背景空間的若干個子集得到的最簡結(jié)構(gòu)式等于背景空間全集的最簡結(jié)構(gòu)式所需的條件是嚴(yán)格的。上述方法可分析離散數(shù)據(jù)中蘊涵的內(nèi)在關(guān)系�？煞治鲈�件故障導(dǎo)致系統(tǒng)故障的成因。該方法是因素空間與空間故障樹的結(jié)合分析方法，擴展了因素空間理論在安全科學(xué)中的應(yīng)用，同時也為空間故障樹的離散數(shù)據(jù)處理增添了有效方法。

　　4結(jié)束語

　　本文給出了一種關(guān)于系統(tǒng)可靠性的系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)最簡式分析方法。該方法主要是通過離散的系統(tǒng)可靠性數(shù)據(jù)來分析元件功能與系統(tǒng)功能之間的關(guān)系。得到在不同背景空間條件下最簡結(jié)構(gòu)式，即系統(tǒng)功能最簡結(jié)構(gòu)。進而尋找不同背景空間下隱含的各元件功能關(guān)系。文中給出了方法的步驟和相關(guān)定義及定理。為空間故障樹的離散數(shù)據(jù)處理增添了有效方法。使用32條可靠性數(shù)據(jù)組成擁有32個相集的背景空間B，使用該方法得到最簡結(jié)構(gòu)式ζ(T)B=x1x4+x3x5+x1x2x3。同時，隨機選取23個相集組成背景空間子集B1，得到最簡結(jié)構(gòu)式ζ(T)B1=x1x4+x3x5+x1x2。其余9個相組成背景空間子集B2，得到最簡結(jié)構(gòu)式ζ(T)B2=x1x4。這說明背景空間子集缺乏對系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)的約束。對比ζ(T)B和ζ(T)B1兩式，可知x3等價于{x1,x2,x1+x2}，即元件Z3的功能與Z1或Z2或Z1+Z2的功能相同。同時通過兩個背景空間子集所得最簡結(jié)構(gòu)式說明，當(dāng)B1∈B，B2∈B，B2∩B1=∅，B2∪B1=B時，ζ(T)B≠ζ(T)B1+ζ(T)B2，即x1x4+x3x5+x1x2x3≠x1x4+x3x5+x1x2+x1x4。給出了ζ(T)B=ζ(T)B1+ζ(T)B2時，背景空間劃分子集的條件。

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