奧斯本的隨機漫步理論和法瑪[1]的有效市場假說認(rèn)為，技術(shù)分析是無效的，在證券交易中，一個根據(jù)證券歷史價格構(gòu)造的投資策略，不會比一個消極的買入并持有策略取得更好的收益。文章是一篇統(tǒng)計與決策投稿的論文范文，主要論述了基于證券最高價和最低價可預(yù)測性的反轉(zhuǎn)交易分析。
　　〔摘要〕學(xué)術(shù)研究中關(guān)于技術(shù)分析是否有效的爭論一直存在，近年來越來越多的研究為技術(shù)分析的有效性提供了理論和模型的支持。本文以滬深300股指期貨的日交易數(shù)據(jù)為樣本，驗證了最高價和最低價之間的分形協(xié)整關(guān)系和其差價的長記憶性特征，并基于分整向量誤差修正模型(FVECM)的預(yù)測結(jié)果構(gòu)建了一個利用壓力支撐線原理進行日內(nèi)交易的反轉(zhuǎn)策略，證明了FVECM預(yù)測結(jié)果相較于其他模型的預(yù)測結(jié)果可以得到超額收益，為證券市場上的量化投資提供新的證據(jù)和參考。

　　〔關(guān)鍵詞〕量化投資,滬深300股指期貨,分形協(xié)整

　　一、引言

　　技術(shù)分析的支持者認(rèn)為，按照證券的歷史信息進行交易會比僅僅跟隨市場交易取得更高的收益。近年來，國內(nèi)外出現(xiàn)了很多支持技術(shù)分析有效性的實證研究，為技術(shù)分析提供了理論支持。隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，技術(shù)分析通過與之結(jié)合，其應(yīng)用范圍與功效都得到了前所未有的進步，算法交易與量化投資作為市場上的新興產(chǎn)物，得到了很多投資者的青睞。

　　量化投資在國外的發(fā)展已經(jīng)有三四十年的歷史，投資業(yè)績穩(wěn)定，市場份額不斷擴大，得到越來越多投資者的認(rèn)可。然而，國內(nèi)的量化投資領(lǐng)域還處于發(fā)展起步階段，量化投資占金融投資的比重不超過5%。隨著中國2010年滬深300股指期貨的出臺，量化投資在國內(nèi)市場的發(fā)展?jié)摿χ饾u顯現(xiàn)，各大券商和機構(gòu)投資者紛紛對量化交易展開深度研究。

　　隨著2010年4月中國滬深300股指期貨的推出，國內(nèi)金融衍生產(chǎn)品市場逐漸完善，滬深300股指期貨的上市交易宣告了中國股市不能做空的單邊市場的結(jié)束，也為投資者提供了套期保值規(guī)避風(fēng)險的工具。同時，股指期貨的上市，提高了對國內(nèi)投資者的投資要求，機構(gòu)投資者在交易中面臨著更大的考驗，因而新興的算法交易和量化投資等投資策略在此時顯現(xiàn)出更大的優(yōu)勢和更好的發(fā)展前景。

　　本文對滬深300股指期貨的日開盤價和收盤價數(shù)據(jù)進行研究，發(fā)現(xiàn)了二者之間的分形協(xié)整關(guān)系，通過建模、預(yù)測，構(gòu)建一個基于最高價和最低價之間關(guān)系的量化投資反轉(zhuǎn)策略。在理論意義上，本文將分形協(xié)整的概念應(yīng)用于對證券價格的預(yù)測中，將局限于整數(shù)維差分的誤差修正模型拓展到基于分?jǐn)?shù)維差分的分整誤差修正模型，提高了預(yù)測精度，為日后金融或其他領(lǐng)域的非平穩(wěn)時間序列的研究和時間序列之間長期趨同性的研究拓寬了思路。在實用價值上，本文提出的基于證券最高價和最低價預(yù)測的反轉(zhuǎn)策略會為市場上的投資者提供一種新的參考方法和新的投資思路，有利于推行量化投資在股指期貨市場的發(fā)展。

　　二、文獻綜述

　　國外的一些研究在幾年前已經(jīng)開始著眼于最高價和最低價之間的協(xié)整關(guān)系，Brandt 和 Diebold[2]認(rèn)為最高價和最低價之間的差價是股價波動率的一個重要的指標(biāo)，Brunetti 和 Lildholdt[3]將差價這一變量加入到一些隨機波動模型中來獲得有用的信息。Murphy[4]通過對投資者心理的研究分析得出了技術(shù)分析中壓力線和支撐線的存在。Cheung等[5]認(rèn)為差價的兩個組成部分最高價和最低價也是值得深入研究的，他根據(jù)二者之間長期均衡的關(guān)系，提出了用向量誤差修正模型VECM對其建模并預(yù)測。1980 年前后，陸續(xù)有學(xué)者將長記憶模型引入到經(jīng)濟和金融問題的研究中來，Stakenas[6]針對一些存在長記憶性的時間序列，提出了分形協(xié)整的概念。Johansen和Nielsen[7]提供了分整向量誤差修正模型的條件最大似然估計方法，將傳統(tǒng)的滯后算子L改進為分形滯后算子，估計出協(xié)整階數(shù)d、b，調(diào)整參數(shù)矩陣α等參數(shù)。Caporin等[8]以美國道瓊斯工業(yè)指數(shù)中的成分股價日數(shù)據(jù)為樣本，運用分整向量誤差修正模型估計了最高價和最低價并且證明了二者之間的分形協(xié)整關(guān)系，實現(xiàn)了分整向量誤差修正模型在股票市場上的應(yīng)用。Brock等[9]發(fā)現(xiàn)大多數(shù)的基于技術(shù)分析指標(biāo)的交易策略與買入并持有策略相比，會得到更高的收益和更低的波動率，Gradojevic和Gentay[10]討論了交易的不確定性，并用基于模糊交易的指標(biāo)解決了這一問題。

　　近年來國內(nèi)的一些研究將時間序列之間的協(xié)整關(guān)系轉(zhuǎn)移到了分形協(xié)整關(guān)系。孫青華和張世英[11]在一般的協(xié)整關(guān)系研究中加入了分形理論，解釋了時間序列的長記憶性和分形協(xié)整之間的關(guān)系，提出可以據(jù)此建立相應(yīng)的長記憶性協(xié)整系統(tǒng)的誤差修正模型。吳大勤[12]將一般時間序列的整數(shù)階差分?jǐn)U展到長記憶性序列中的分?jǐn)?shù)維差分，以滬深股市為例，提出了長記憶性下的分形協(xié)整，進而將協(xié)整建模的技術(shù)同F(xiàn)IGARCH結(jié)合，得出了二階基礎(chǔ)上長期均衡的一些性質(zhì)。趙進文和龐杰[13]通過實證分析證明了中國等發(fā)展中國家的股市大多存在明顯的長記憶性，對中國內(nèi)地A股和香港地區(qū)H股兩個分隔市場分別建立能夠反映其收益率波動的FIGARCH模型，證明了兩個市場的聯(lián)動性。曹廣喜[14]以中國股市的長記憶性和分形特征為基礎(chǔ)，分析宏觀經(jīng)濟政策對股市波動性的影響。以往的技術(shù)分析多是利用證券的日收盤價數(shù)據(jù)進行的，而王錦[15]證明了一個結(jié)合了最高價、最低價的股票預(yù)測方法比單純的以收盤價為基礎(chǔ)的預(yù)測方法有意義，因為它們分別代表了市場的支撐位與阻擋位，要比其他交易價格包含了更多的關(guān)于市場反轉(zhuǎn)點的信息，并且通過VAR 模型分析了 最高價、最低價、收盤價三者之間存在著明顯的協(xié)整關(guān)系。技術(shù)分析中一個重要的方法就是基于壓力線和支撐線的反轉(zhuǎn)策略。陳卓思和宋逢明[16]得到股票價格的局部極值點，結(jié)合Murphy的研究說明了基于壓力線和支撐線的反轉(zhuǎn)交易策略是可行的。謝丁[17]對六類壓力支撐類股票技術(shù)分析指標(biāo)進行了實證研究，通過計算股價波動與壓力支撐類指標(biāo)各分析量之間的相關(guān)關(guān)系，驗證股價波動與該類技術(shù)指標(biāo)的相關(guān)性，從而實證了壓力支撐類指標(biāo)的有效性。 　　從以上文獻中可以看出，國內(nèi)對分形協(xié)整研究的應(yīng)用局限于不同市場間的收益率波動，而很少有研究單種證券日最高價和最低價之間的分形協(xié)整關(guān)系，而且一個結(jié)合了最高價、最低價的預(yù)測方法比單純依靠收盤價更為可靠，因而本文將根據(jù)最高價和最低價的分形協(xié)整關(guān)系構(gòu)造一個反轉(zhuǎn)交易策略，并證明該策略的超額收益。

　　二、滬深300股指期貨最高價和最低價的分形協(xié)整關(guān)系檢驗

　　(一)協(xié)整關(guān)系檢驗

　　協(xié)整過程是針對具有單位根的非平穩(wěn)時間序列提出的。對于一個n維向量時間序列yt，如果每一個分量序列yit (i= 1，2， ，n )，均為一單變量單位根過程(即滿足yit～I(1))，且存在非零的 n 維向量α ，使得各序列組成的線性組合α′yt為一穩(wěn)定過程，即α′yt～I(0)，則稱向量時間序列yt是協(xié)整的，α為其協(xié)整向量。以兩個變量y 和x 為例，設(shè)y 和x 都是一階單整序列，則 EG 兩步法的具體檢驗步驟為：第一步，利用最小二乘法估計模型，并計算相應(yīng)的殘差序列。第二步，檢驗殘差序列的平穩(wěn)性。

　　常用的單整檢驗有DF檢驗(Dickey Fuller檢驗)、ADF檢驗(Augmented Dickey Fuller檢驗)和PP檢驗(Phillips Perron)。如果經(jīng)過 DF 檢驗(或 ADF 檢驗)拒絕了原假設(shè)殘差序列是平穩(wěn)序列，則意味著y 和x 存在著協(xié)整關(guān)系;如果接受了存在單位根的原假設(shè)，則殘差序列是非平穩(wěn)的，y 和x 之間不可能存在協(xié)整關(guān)系。

　　2滬深300股指期貨最高價和最低價的協(xié)整關(guān)系檢驗

　　本文對滬深300股指期貨最高價和最低價數(shù)據(jù)進行協(xié)整檢驗，選取日數(shù)據(jù)，樣本區(qū)間從2010年4月16日到2014年12月31日。分別對滬深300股指期貨最高價和最低價以及差價做ADF檢驗，結(jié)果如表1所示。

　　從表1可以看出，最高價和最低價都是一階單整序列，對二者線性回歸后的殘差序列μ進行ADF檢驗，可以看出殘差序列是平穩(wěn)的，最高價和最低價之間存在協(xié)整關(guān)系。對二者線性組合后的序列R=H-L進行ADF檢驗，可以看出，差價R序列也是平穩(wěn)的。

　　(二)長記憶性檢驗

　　Hurst最先提出了一種長記憶性的度量方法――重標(biāo)極差分析法(Rescaled Ranger Statistic，簡稱R/S統(tǒng)計量)，Mandelbrot對R/S統(tǒng)計量做進一步的研究。設(shè)時間序列Xt，則τ個時間序列觀測點的極差為R(τ)=max y(i，τ)-min y(i，τ)，標(biāo)準(zhǔn)差為S(τ)={1τ∑τi=1[xi-(Ex)τ]2}12，R/S統(tǒng)計量為Q0=Rτ/Sτ。

　　Hurst、Mandelbrot和Wallis分別證明了：

　　plimτ→∞{τ-HR(τ)/S(τ)}=C(1)

　　其中，C為常數(shù)，H為Hurst指數(shù)。H的估計公式為 ：

　　H=log[R(τ)/S(τ)]/log(τ)(2)

　　當(dāng) H ≤05時，時間序列為短記憶性的;當(dāng)H>05時，時間序列為長記憶性的。

　　用R/S分析法計算差價的Hurst指數(shù)，可得05　　(三)分形協(xié)整檢驗

　　近年來的研究表明，如果將協(xié)整關(guān)系局限于整數(shù)維差分框架下來分析問題，則會造成分析結(jié)果的不準(zhǔn)確，特別是高頻的金融數(shù)據(jù)下，單整階數(shù)為整數(shù)值的條件過于苛刻。Granger和Hosking給出了一個ARFIMA(Fractional Integrated Auto-Regressive Moving Average，分整自回歸移動平均)模型。ARFIMA模型是一個前沿性的長記憶性模型，該模型是放寬ARIMA模型整數(shù)維差分到分?jǐn)?shù)維差分后得到的。該模型表示，對一個時間序列{yt}，我們可以建立如下分整過程： yt=(1-L)tμt，其中，L是滯后因子，μt是一個均值為零、方差恒定的獨立同分布過程，即白噪聲過程，d = H-1/ 2是分整系數(shù)。如果引入 ARMA項，則該分整模型就可以變換成為一個更為一般性的模型：Φ(L)(1-L)d(Xt-μ)=θ(L)εt ，其中，d為分?jǐn)?shù)維差分參數(shù)。0　　從上文的研究中可以看出，滬深300股指期貨最高價和最低價的線性組合，即二者的差價存在長記憶性特征。目前人們對金融向量時間序列協(xié)整的研究集中在整數(shù)維差分，而長記憶性時間序列的差分階數(shù)往往是分?jǐn)?shù)維的，因而本文針對差價序列的長記憶性特征，對協(xié)整階數(shù)進行拓展，探討最高價和最低價之間的分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。

　　為了驗證最高價和最低價的分形協(xié)整關(guān)系，本文對分形單整自回歸滑動平均模型ARFIMA(1，d，1)中的分?jǐn)?shù)維差分參數(shù)d進行估計，用SAS軟件中的FARMAFIT函數(shù)，結(jié)果為dR=03878，dH=09685，dL=09651�？梢钥闯鰧ψ罡邇r和最低價線性組合后的差價序列的差分參數(shù)降低，dR　　綜上所述，差價的長記憶性以及最高價和最低價之間的分形協(xié)整關(guān)系，可以說明最高價和最低價都是可預(yù)測的。存在一種合適的模型可以對最高價和最低價進行建模和預(yù)測。

　　三、分形協(xié)整模型構(gòu)建及模型預(yù)測能力分析

　　(一)分整誤差修正模型介紹

　　本文使用Johansen改進后的向量誤差修正模型(VECM)，運用基于分?jǐn)?shù)維差分的分整向量誤差修正模型(FVECM)來擬合最高價和最低價之間的分形協(xié)整關(guān)系。模型形式如下： 　　ΔdXt=(1-Δb)Δd-bαβ'Xt+∑Kj=1ΓjΔdLjbXt+εt

　　(4)

　　其中，L為分形滯后算子，Lb=1-(1-L)b，本文中Xt=(pHt，pLt)，εt=(εHt，εLt)，α=(αH，αL)是調(diào)整系數(shù)矩陣，β=(1，γ)是協(xié)整向量。α的分量表示變量對短期背離的調(diào)整程度，本文對長期趨勢的短期背離可用差價來表示。因此，此模型既擬合了證券最高價和最低價之間的長期趨同性，也包含了證券價格離散性的信息。我們通過這個模型可以研究差價的長記憶性，可以根據(jù)過去的歷史價格對未來的最高價和最低價進行更準(zhǔn)確的預(yù)測。

　　本文假設(shè)d=1，表示強分形協(xié)整;β=(1，-1)，從而最高價和最低價之間的協(xié)整關(guān)系是基于差價，即二者相減后序列是平穩(wěn)性的。如果b>05，差價平穩(wěn)且為d-b階單整。如果b<05，也就是弱分形協(xié)整的情況下，差價是不平穩(wěn)的。如果d=b=1，則此模型與VECM相同。根據(jù)BIC準(zhǔn)則，選擇滯后階數(shù)k=1，因而需要估計的模型為：

　　ΔPHt=αH(1-Δb)Δ1-bRt+γ11LbΔPHt+γ12LbΔPLt+εHt

　　(5)

　　ΔPLt=αL(1-Δb)Δ1-bRt+γ21LbΔPHt+γ22LbΔPLt+εLt(6)

　　對此模型的估計采用Johansen和Nielsen提出的條件極大似然估計方法，用matlab程序估計出模型中的α、γ、d、b等參數(shù)，估計結(jié)果如表2所示。

　　從表2可以看出，b =045<05，說明差價是不平穩(wěn)的，有很明顯的長記憶性，誤差修正項ECM的系數(shù)αH<0，αL>0，說明差價的加大會拉低次日的最高價，抬高次日的最低價，使得最高價和最低價之間存在長期穩(wěn)定的相關(guān)關(guān)系，即分形協(xié)整關(guān)系。αH的絕對值小于αL的絕對值，說明在這種長期均衡關(guān)系中，低價的反彈程度大于高價的降低程度。這可以用行為金融學(xué)中投資者對表現(xiàn)較差股票的過度反應(yīng)來解釋。

　　投資者會對任何影響股票價格波動的因素產(chǎn)生過度反應(yīng)。這種現(xiàn)象也被稱為“贏家―輸家組合效應(yīng)”。利用這種效應(yīng)，投資者可以通過賣空過去表現(xiàn)得好的股票組合(贏家組合Winners)，同時買進過去表現(xiàn)得差的股票組合(輸家組合Losers)而獲得超額收益。這種投資策略只是以過去的股票價格作為信息進行操作，通過這種反向操作的策略獲得持續(xù)的超常收益與市場的有效性不一致，這就意味著市場的弱有效性并不成立。

　　(二)分整誤差修正模型預(yù)測能力檢驗

　　Diebold和Mariano提出Diebold-Mariamo 檢驗法。假設(shè)兩個模型的預(yù)測誤差為e1，t和e2，t(t=1，2，3，…，T)，g(e1，t)和g(e2，t)代表它們相關(guān)的損失函數(shù)，則兩模型的相對損失函數(shù)可表示為d=g(e1，t)-g(e2，t)。定義零假設(shè)H0：E(dt)=0。

　　如果{dt}是協(xié)方差平穩(wěn)和短記憶性的數(shù)列，則根據(jù)中央極限定理，可用下列分配：

　　T(d-u)→N(0，2πfd(0))(7)

　　其中，d為樣本平均數(shù)，fd(0)為樣本的零點譜密度。檢驗統(tǒng)計量為：

　　DM=2πd(0)T(8)

　　其中，d(0)是fd(0)的一致估計，經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后，DM檢驗統(tǒng)計量是近似N(0，1)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，DM檢驗統(tǒng)計量為負(fù)數(shù)且顯著時，則表明拒絕零假設(shè)H0：E(dt)=0。

　　根據(jù)FVECM模型的預(yù)測結(jié)果，我們構(gòu)造一個基于最高價和最低價預(yù)測結(jié)果的反轉(zhuǎn)投資策略，我們對2013年和2014年兩年483個數(shù)據(jù)進行樣本外預(yù)測，2010―2012年的數(shù)據(jù)估計出模型的參數(shù)后，用一步向前預(yù)測方法，預(yù)測出2013―2014年的最高價和最低價數(shù)據(jù)。

　　運用Diebold-Mariano檢驗(簡寫為D-M檢驗)將VECM、GARCH(1，1)、RW、MA5、MA22模型和FVECM的預(yù)測能力進行比較。D-M檢驗結(jié)果如表3所示。

　　從表3可以看出，F(xiàn)VECM的預(yù)測誤差顯著小于其他對比模型，MA5和MA22通常是用來觀察股價走勢的，而非用來估計和預(yù)測未來的股價。與隨機游走模型RW比較時，統(tǒng)計量也是顯著的，說明基于FVECM的預(yù)測結(jié)果好于基于強式有效市場的價格預(yù)測，說明技術(shù)分析是有效的。VECM局限于整數(shù)維差分，沒有考慮到差價的長記憶性，說明本文對分?jǐn)?shù)維差分和長記憶性的考慮可以提高模型的價格預(yù)測能力。

　　四、基于分形協(xié)整模型的反轉(zhuǎn)交易策略分析

　　由于最高價和最低價是交易策略的核心組成部分，與壓力線和支撐線的概念有緊密聯(lián)系，我們利用上文模型的預(yù)測結(jié)果構(gòu)造一個反轉(zhuǎn)策略。

　　(一)反轉(zhuǎn)交易策略分析

　　上文中對最高價和最低價的預(yù)測結(jié)果可以構(gòu)造一個帶狀區(qū)間，我們將股價一日內(nèi)的走勢與基于差價的帶狀區(qū)間的交點作為買入和賣出的信號。在一個給定的交易日內(nèi)，價格向上穿過上界，則為賣出的信號，向下穿過下界，則為買入的信號，這種策略稱之為反轉(zhuǎn)策略。這種策略也可以解釋為從價格波動時的短期均值回復(fù)的流動性儲備。從前文中可以看出，差價的上升會拉低第二日的最高價，提升第二日的最低價，因而降低第二日的差價。因此，選取反轉(zhuǎn)交易策略是合理的。之所以選擇日內(nèi)交易，是為了避免隔夜市場操作帶來的價格波動風(fēng)險。

　　1模擬交易

　　本文中的反轉(zhuǎn)策略為日內(nèi)交易，通過FVECM對最高價和最低價的預(yù)測，計算出差價的估計值T，以日開盤價為基礎(chǔ)，構(gòu)造最高價和最低價形成的帶狀區(qū)間，作為買入或賣出的信號，區(qū)間的上下界分別為PU=POt+Rt和PL=POt-Rt。在某一交易日，如果股指點數(shù)向上穿過上界，就是賣出的信號，如果股指點數(shù)向下穿過下界，就是買入的信號。一旦買入，就會產(chǎn)生兩條新的帶，即獲利帶和止損帶，SL=P+δRt和TP=P-δRt。如果股指點數(shù)穿過SL或TP，應(yīng)該平倉;如果直到收盤時都沒有穿過這兩條帶，就在收盤時將持有合約平倉。這種策略類似于Holmberg將差價作為開盤價到收盤價之間的分位數(shù)，根據(jù)差價的波動進行交易，只是他們的研究沒有做像本文中的最高價和最低價的預(yù)測。 　　2反轉(zhuǎn)策略超額收益的驗證

　　為證明FVECM的預(yù)測結(jié)果對交易收益的提高，本文按照上述交易策略編寫matlab程序?qū)�滬�?00股指期貨進行模擬交易，選取2013年1月1日至2013年12月31日作為樣本區(qū)間，用1分鐘分時數(shù)據(jù)進行模擬，δ取075。滬深300股指期貨的報價單位為滬深300股指的指數(shù)點，合約乘數(shù)為每點300元，最少交易005合約數(shù)，最多交易100合約數(shù)。本文的模擬交易只對主力合約進行交易，為了簡便起見，不考慮保證金交易和手續(xù)費問題，用點數(shù)×合約乘數(shù)×交易合約數(shù)作為價格，交易單位選擇005個合約。每日收益為(賣出成交價-買入成交價)×300×005。期末收益為兩年間每日收益之和。

　　比較期末幾種模型的收益情況，結(jié)果如表4所示。

　　五、結(jié)語

　　本文主要的貢獻是證明了證券最高價和最低價的可預(yù)測性，用分形協(xié)整向量誤差修正模型FVECM對最高價和最低價之間的分形協(xié)整關(guān)系進行建模，符合最高價和最低價之間的分形協(xié)整關(guān)系和差價的長記憶性。為證明技術(shù)分析的有效性，我們將一個基于FVECM的預(yù)測結(jié)果的交易策略用于滬深300股指期貨交易中，提供買入或賣出的信號。主要結(jié)論為最高價和最低價的預(yù)測可以提高交易的收益，降低交易時的風(fēng)險。在未來的研究中，希望能進行最高價和最低價的預(yù)測能否提高風(fēng)險分析能力和風(fēng)險管理的研究。希望構(gòu)建更靈活的模型，可以實現(xiàn)最高價、最低價、差價的分別估計和預(yù)測�？捎糜谘苌�產(chǎn)品定價等領(lǐng)域。

　　此外，由于本文中的交易策略是日內(nèi)交易，中國股票市場T+1制度的限制使得無法將此研究策略擴展于股票市場，應(yīng)用的廣泛性還有待提高。希望今后的研究中能出現(xiàn)基于股票市場的對本文的改進，這樣將會使本文更有實用價值。

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　　相關(guān)期刊簡介：《統(tǒng)計與決策》由湖北省統(tǒng)計局主管，湖北省統(tǒng)計局統(tǒng)計科學(xué)研究所主辦。國際刊號ISSN：1002-6487；國內(nèi)刊號CN：42-1009/C。

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