利率期限結(jié)構(gòu)作為風險管理、金融衍生品定價、貨幣政策制定和政策效果判斷的重要基礎(chǔ)工具之一，引起了國內(nèi)外學者的強烈關(guān)注，研究成果豐富。Willner（1996），Bravo&Silva（2005）應(yīng)用利率期限結(jié)構(gòu)免疫投資組合的利率風險[1-2]；Dieboldetal.（2006a）運用利率模型為美國債券進行套期保值[3]；朱世武（2004），余文龍與王安興（2010）等研究使用利率期限結(jié)構(gòu)模型對中國國債進行套期保值[4-5]；劉艷萍等（2009）將利率期限結(jié)構(gòu)應(yīng)用于商業(yè)銀行的風險管理[6]；郭濤和宋德勇（2008）研究了利率期限結(jié)構(gòu)與未來通貨膨脹的關(guān)系，并對未來通脹進行了預(yù)測[7]，等等。當前，研究利率期限結(jié)構(gòu)的模型主要有：均衡模型、無套利模型和參數(shù)模型。前兩者運用隨機微分方程刻畫利率的行為，模型比較復雜而且需要大樣本。而參數(shù)模型是對利率的函數(shù)形式作出預(yù)先假設(shè)，然后通過靜態(tài)擬合某一國債截面數(shù)據(jù)，估計出模型參數(shù)。其中應(yīng)用最廣泛的參數(shù)模型包括Nelson-Siegel模型（NS）[8]，它已經(jīng)成為多國央行繪制利率期限結(jié)構(gòu)曲線的工具[9]。

　　摘要：Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型指數(shù)部分的衰減參數(shù)通常根據(jù)Diebold&Li的兩步法、遺傳算法或非線性最小二乘法估計，這會導致擬合誤差偏大或估計結(jié)果不穩(wěn)定。本文提出用遺傳算法與最小二乘法交叉迭代的方法來改進Diebold&Li兩步法對Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的估計，并與Diebold&Li兩步法和遺傳算法進行實證比較。實證結(jié)果表明，用改進的兩步法不僅能提高樣本內(nèi)模型的擬合優(yōu)度，還能降低樣本外模型的定價誤差，特別是對于較長期限的債券數(shù)據(jù)，改進的兩步法的模型估計效果明顯好于Diebold&Li兩步法和遺傳算法。

　　關(guān)鍵詞：Nelson-Siegel模型,遺傳算法,Diebold&Li兩步法,改進的兩步法

　　一、文獻綜述

　　NS模型能描述單調(diào)、駝峰型及其反轉(zhuǎn)的利率期限結(jié)構(gòu)曲線，特別適合像我國這樣債券品種較少、期限結(jié)構(gòu)單一的不發(fā)達的債券市場。然而在NS模型中，指數(shù)部分的衰減參數(shù)的選擇對收益率曲線的擬合有重要影響，對的選擇不同，所估計的利率期限結(jié)構(gòu)可能差異較大，對債券定價和風險管理等會產(chǎn)生較大影響。對此，Diebold&Li（2006b）提出了估計NS模型的兩步法（DL兩步法）[10]：第一步根據(jù)經(jīng)驗確定指數(shù)部分的衰減參數(shù)，第二步在已知的基礎(chǔ)上通過線性最小二乘法估計出其余三個參數(shù)。RafaelB.deRezende（2011）仿照DL兩步法，選擇一組一定數(shù)量的可能值，逐一代入NS模型，通過最小化即期利率或遠期利率的平均根均方誤差MRMSE來獲得及其它參數(shù)的最優(yōu)值[11]。國內(nèi)研究方面，余文龍與王安興（2010）通過經(jīng)驗推斷NS模型的曲率因子負載的極大值點處于3.5年，然后反求出的估計值；胡志強與王婷（2009）直接羅列出的若干可能取值，接著通過最小擬合誤差估計出參數(shù)[12]。由于NS模型是其參數(shù)的非線性函數(shù)，用非線性最小二乘法估計參數(shù)會因依賴初始值而導致估計結(jié)果不穩(wěn)定，而DL兩步法的優(yōu)點在于運算簡便，而且結(jié)果穩(wěn)定，但缺點是對參數(shù)的估計存在一定的隨意性，容易產(chǎn)生估計誤差。國內(nèi)學者使用的另一個常見的估計方法是遺傳算法。任姝儀等（2011）在NS模型的四個參數(shù)的經(jīng)驗范圍內(nèi)構(gòu)建參數(shù)初始種群，通過算法迭代，一次性計算出包含的所有參數(shù)[13]，因此遺傳算法也可以稱為“一步法”。遺傳算法對的估計結(jié)果不太穩(wěn)定，收斂速度的快慢取決于給定的算法參數(shù)，對異常值也比較敏感，有時還會陷入收斂陷阱，需要反復試驗。針對DL兩步法和遺傳算法的上述缺陷，本文提出了基于改進的兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型，并利用上海證券交易所國債數(shù)據(jù)與基于遺傳算法及DL兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型進行實證比較。

　　二、NS利率期限結(jié)構(gòu)模型及改進兩步法的求解

　�。ㄒ唬㎞S利率期限結(jié)構(gòu)模型及其參數(shù)？姿的估計

　　NS利率期限結(jié)構(gòu)模型采用式（1）來擬合即期利率。通過求解樣本國債的理論價格與市場價格誤差的最小值問題來估計模型參數(shù)，進而求得利率期限結(jié)構(gòu)。

　　r（t；？姿）=？茁0+？茁1■+？茁2（■-e-？姿t）（1）

　　其中，？茁i（i=0，1，2）和？姿是模型參數(shù)。根據(jù)Diebold&Li（2006b）的理解，各參數(shù)具有明顯的經(jīng)濟含義：？茁0表示利率期限結(jié)構(gòu)的水平因子，反映利率的長期水平；？茁1表示利率期限結(jié)構(gòu)的斜率因子，反映短期利率水平；？茁2描述利率曲線彎曲的形態(tài)和趨勢，是利率曲線的曲率因子；？姿則決定了斜率、曲率因子負載的收斂速度，稱之為衰減參數(shù)。

　　現(xiàn)有文獻估計上述參數(shù)主要采用經(jīng)驗分析[14]，各參數(shù)的范圍滿足：？茁0+？茁1>0，0.03<？茁0<0.1，-0.1<？茁1，？茁2<0.1，？姿？綴（0，1）。就衰減參數(shù)？姿的估計，目前主要采用DL兩步法和遺傳算法。對于DL兩步法，考慮到？姿取決于NS模型的曲率負載的極值點位置，因此首先通過經(jīng)驗設(shè)定曲率負載取得極值的時間點t=t*，然后利用曲率負載在極值點的一階條件獲得？姿的估計值？姿*。然而憑經(jīng)驗所得的極值點一般都不精確，由此得到的估計誤差較大。對于遺傳算法，則完全剔除了經(jīng)驗判斷，在NS模型所有參數(shù)的經(jīng)驗范圍內(nèi)構(gòu)造多組待估參數(shù)的可選數(shù)值（初始種群），每一組都被看成個體，將它們依次代入到目標函數(shù)，然后選擇函數(shù)值較小的一定數(shù)量個體，經(jīng)交叉和變異，生成待估參數(shù)的子種群，重復此過程，直至迭代達到給定的次數(shù)，或目標函數(shù)小于某一給定正數(shù)，最終取得最小函數(shù)值的個體就是模型參數(shù)的估計值，如此一次性全部求出所有參數(shù)的遺傳算法也可稱為“一步法”。問題是NS模型是其參數(shù)的非線性函數(shù)，因此在迭代運算過程中，四個參數(shù)相互影響，導致每次運算的結(jié)果相差較大，所得？姿的估計值？姿*很不穩(wěn)定。（二）改進的兩步法及求解

　　1.改進的兩步法的基本思路

　　為了彌補DL兩步法與遺傳算法在估計NS模型的衰減參數(shù)？姿時的局限性，本文通過改進的兩步法尋找最優(yōu)的？姿*�；�本思路是在最小化樣本國債加權(quán)價格誤差平方和的目標函數(shù)下，通過遺傳算法與線性最小二乘法交叉迭代，獲得最優(yōu)的參數(shù)？姿*，最后再利用最小二乘法求出其它參數(shù)，進而得到即期利率。這樣做較DL兩步法和遺傳算法估計NS模型參數(shù)值有下列優(yōu)點：一是融合了遺傳算法的大樣本挑選優(yōu)勢；二是同時具備線性最小二乘法的穩(wěn)定性。

　　模型中的目標函數(shù)一般是：

　　min■■（Pk-Pk）2（2）

　　其中，Pk，Pk為國債的市場價格和理論價格，m為債券數(shù)量。根據(jù)修正久期的經(jīng)濟含義，在其他因素相同的情況下，固息國債剩余期限越長，修正久期就越大，相同利率變化造成的國債價格波動也就越大�？紤]到我國國債大多集中在中期，長、短期國債數(shù)量有限，所以本文采用修正久期的倒數(shù)對不同期限的國債價格誤差進行加權(quán)調(diào)整，以消除期限對價格誤差的影響。此時，目標函數(shù)變?yōu)椋?/p>

　　■■■[■（Pk-Pk）/■■]2，（3）

　　其中，■k=■Ci？啄（ti），

　��？啄（t）=exp（-r（t；？姿）t）=exp（-t（？茁0+？茁1■+？茁2■-e-？姿t）），Dk是修正久期，Ci是利息，n為利息支付次數(shù)，？啄（t）是債券在t時刻的貼現(xiàn)函數(shù)，其它各符號意義與上文相同。

　　2.基于改進的兩步法的模型求解步驟

　　首先在？姿的經(jīng)驗范圍內(nèi)生成一定數(shù)量的初始種群，將種群的每個個體代入式（3）-（4），并采用最小二乘法估計出其余三個參數(shù)序列，得到相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值，以此作為挑選？姿的依據(jù)。具體求解步驟如下：（1）初始種群的生成：設(shè)置進化代數(shù)計數(shù)器n←0，最大進化代數(shù)N，在參數(shù)？姿范圍內(nèi)隨機生成k個個體（染色體），構(gòu)成的初始種群P（0）；（2）選擇：將上述k個個體代入式（3）-（4），利用最小二乘法估計出其余三個參數(shù)值，得到參數(shù)組序列？茁i1，i=0，1，2，進而得到適應(yīng)度值，對其從小到大排列，利用選擇算子保留函數(shù)值較小的一定數(shù)量的染色體；（3）交叉：利用交叉算子將保留下來的染色體兩兩線性組合，得到新的染色體；（4）變異：運用變異算子按照一定的變異概率改變?nèi)旧�體的部分基因，形成？姿的子種群P（1），將子種群中的個體代入式（3）-（4），用最小二乘法估計出參數(shù)組？茁i2，i=0，1，2，接著得到適應(yīng)度值，從小到大排列選出函數(shù)值較小的一定數(shù)量的染色體，轉(zhuǎn)到步驟（3），（4）；（5）終止條件判斷：若n≤N，或所得參數(shù)的目標函數(shù)值大于預(yù)先給定的較小正數(shù)，則n←n+1，轉(zhuǎn)到步驟（2）；反之，則以進化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度的個體作為最優(yōu)解輸出，終止運算。

　　三、實證比較與分析

　　考慮到數(shù)據(jù)的可得性和豐富性問題，本文選取上海證券交易所2008年7月10日，共計33支國債日交易收盤數(shù)據(jù)進行實證分析，數(shù)據(jù)來源于和訊債券網(wǎng)�？紤]到NS模型對長期期限數(shù)據(jù)的擬合效果較差，我們將剩余期限在10年以上的4個樣本點予以剔除，同時還剔除到期收益率為負的一個異常點，然后用剩下的其中19只樣本內(nèi)債券數(shù)據(jù)進行模型估計，其余9支樣本外國債數(shù)據(jù)用于模型檢驗。用Matlab編寫改進的兩步法、遺傳算法和DL兩步法的程序。算法開始首先確定各參數(shù)取值，如群體數(shù)量、代溝大小、交叉和變異概率等，它們對算法的結(jié)果有重要影響。根據(jù)常用的參數(shù)范圍及試算結(jié)果①，對于改進的兩步法，設(shè)定算法參數(shù)如下：染色體數(shù)目k=200，最大遺傳代數(shù)M=300，代溝g=0.5，交叉概率P交叉=0.8，變異概率P變異=0.15。對于遺傳算法，參數(shù)設(shè)定為：染色體數(shù)目k=40，最大遺傳代數(shù)M=1000，代溝g=0.9，交叉概率P交叉=0.8，變異概率P變異=0.175。對于DL兩步法，本文借鑒文獻[5]的做法，取定？姿=0.51235。用這三個算法估計NS模型的結(jié)果見表1。根據(jù)表1，與遺傳算法和兩步法相比，改進的兩步法所得目標函數(shù)值最小，擬合優(yōu)度最高②，DL兩步法則最低。

　　樣本外的理論價格與市場價格的絕對誤差見表2。根據(jù)表2，基于改進的兩步法的價格誤差是39.68，而基于遺傳算法和DL兩步法分別是41.12和45.56，顯然前者要優(yōu)于后兩者，因此，改進的兩步法對較長期限的債券數(shù)據(jù)擬合有明顯優(yōu)勢。接著，為對比基于改進的兩步法、遺傳算法和DL兩步法的NS模型對較短期限數(shù)據(jù)的擬合效果，剔除上述樣本中剩余期限為6年以上的數(shù)據(jù)，即用18只樣本內(nèi)債券數(shù)據(jù)估計模型，用剩下的7只樣本外債券進行模型檢驗。估計結(jié)果見表3，其中，雖然根據(jù)改進的兩步法所得的目標函數(shù)值最小，但三者的擬合優(yōu)度沒有明顯差別。樣本外的理論價格與市場價格的絕對誤差見表4。根據(jù)表4，基于改進的兩步法的價格誤差是3.9，而基于遺傳算法和DL兩步法分別是4.3和3.9，前者優(yōu)于遺傳算法，但和DL兩步法相當。因此三個算法對較短期限數(shù)據(jù)的擬合效果近似。綜合比較三種算法對長、短期限數(shù)據(jù)的估計效果，改進的兩步法要優(yōu)于遺傳算法和DL兩步法。

　　為了進一步對比三種算法的估計效果，本文還選擇了2005年1月4日起連續(xù)3個交易日數(shù)據(jù)（剩余期限為15年以下）做實證分析，特別的是，為了避免樣本數(shù)據(jù)選擇的刻意性，只隨機選擇每日80%的樣本內(nèi)數(shù)據(jù)做擬合，剩余20%的樣本外數(shù)據(jù)做模型算法檢驗，根據(jù)樣本內(nèi)的擬合優(yōu)度和樣本外的根均方誤差RMSE來判斷三種方法的優(yōu)劣。實證結(jié)果見表5。

　　由表5可知，改進的兩步法在擬合優(yōu)度R2方面是最高的，根均方誤差也是相對最低的，三者的平均根均方誤差分別是2.09，2.17和3.87�？偟目磥�，改進的兩步法優(yōu)于遺傳算法，而遺傳算法優(yōu)于DL兩步法。

　　四、結(jié)論

　　債券及利率衍生品定價、風險管理和貨幣政策制定依賴于利率期限結(jié)構(gòu)的精確估計，NS利率期限結(jié)構(gòu)模型是應(yīng)用最廣泛的模型之一。對于其指數(shù)部分的衰減參數(shù)的估計，大多存在一定的隨意性，然而衰減參數(shù)的估計對利率期限結(jié)構(gòu)的準確估計具有重要影響。對此，本文提出基于遺傳算法與最小二乘法交叉運用改進了DL兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)估計方法，然后以上海證券交易所國債數(shù)據(jù)為樣本，與遺傳算法和DL兩步法的NS模型進行實證比較。結(jié)果顯示：基于改進的兩步法的NS利率期限結(jié)構(gòu)模型能減少價格誤差，具有較高的穩(wěn)定性，總體上優(yōu)于遺傳算法和DL兩步法，特別是對于較長期限的債券數(shù)據(jù)樣本。顯然地，改進的兩步法可以推廣應(yīng)用到NS族模型，還可以考慮應(yīng)用于利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)測方面，這將是我們后續(xù)研究的問題�！觯ㄘ熑尉庉嫞盒扈矗�

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